Facile limite, che si basa sulla continuità di funzioni
eccone ALCUNI:
lim x--> 1 (4x^2-1)= 3
lim x--> + oo rad x^2+1 \ x+1 = 1
premetto che ho studiato tutto il capitolo sulle funzioni continue. Sul libro il prof ci ha assegnato esercizi simili a questo la cui traccia dice "Basandosi sulla continuità delle funzioni elementari e servendosi di teoremi sui limiti, dimostrare che si hanno i seguenti limiti.
Il prof ha dato anche esercizi più complicati, ma, vedendone gli esempi, alla fine basta scomporli o moltiplicare num e denom per lo stesso valore, quando si ha una forma indeterminata col calcolo diretto. Quindi come dovrei procedere? In che modo dovrei applicare la teoria che ha spiegato? Cioè, se vedete quelli che ho scritto, in 2-3 passaggi si calcolano. Il primo basta sostituire 1 nella funzione che il limite esce. Come devo procedere? E' necessario qualche altro passaggo intermedio?
lim x--> 1 (4x^2-1)= 3
lim x--> + oo rad x^2+1 \ x+1 = 1
premetto che ho studiato tutto il capitolo sulle funzioni continue. Sul libro il prof ci ha assegnato esercizi simili a questo la cui traccia dice "Basandosi sulla continuità delle funzioni elementari e servendosi di teoremi sui limiti, dimostrare che si hanno i seguenti limiti.
Il prof ha dato anche esercizi più complicati, ma, vedendone gli esempi, alla fine basta scomporli o moltiplicare num e denom per lo stesso valore, quando si ha una forma indeterminata col calcolo diretto. Quindi come dovrei procedere? In che modo dovrei applicare la teoria che ha spiegato? Cioè, se vedete quelli che ho scritto, in 2-3 passaggi si calcolano. Il primo basta sostituire 1 nella funzione che il limite esce. Come devo procedere? E' necessario qualche altro passaggo intermedio?
Risposte
Ciao, prima di tutto ti chiedo in futuro di usare il sistema per scrivere le formule per facilitare chi ti vuole aiutare a leggere.
Il primo limite, come hai detto tu, si risolve semplicemente sostituendo il valore $1$ nella funzione, in quanto la funzione è un polinomio e quindi è continua.
Per quanto riguarda il secondo, inizia facendo la divisione tra i polinomi $x^2+1$ e $x+1$...
Paola
Il primo limite, come hai detto tu, si risolve semplicemente sostituendo il valore $1$ nella funzione, in quanto la funzione è un polinomio e quindi è continua.
Per quanto riguarda il secondo, inizia facendo la divisione tra i polinomi $x^2+1$ e $x+1$...
Paola
e mi puoi spiegare come si fa praticamente a vedere se e continua o non? Cioè io dal punto di vista teorico l'ho capito, ma non risco a capire come si fa a vedere nella pratica...
Hai bisogno di calcolarne le condizioni di esistenza (dominio). Per esempio in una frazione va posto il denominatore diverso da zero, in una radice quadrata va posto il radicando $>=0$, ecc..
Hai fatto queste cose?
Hai fatto queste cose?
sisi le ho fatte...però qui mi dà solo il limite, non tutta la funzione...cioè a quanto ho capito, prima di dividere o sostituire, per quindi trovare il limite, dovrei dimostrare che la funzione è continua...oppure secondo te dovrei procedere direttamente?
Come non ti da la funzione? Certo che ti da la funzione! Il limite si calcola su una funzione, nei tuoi esempi le due funzioni sono $4x^2-1$ e $sqrt((x^2+1)/(x+1))$.
scusami sto combinando un casino <.< Allora: nella teoria ho studiato che una funzione si dice contunua in x0 se limx-->x0 = f(x0). In questi casi, come si verifica tale condizione? Chi è x0 e chi f(x0)? Scusami se rompo T.T
Non rompi!
Allora, la tua definizione è corretta. $x_0$ è un punto in cui vuoi verificare se la tua funzione è continua, facciamo un esempio:
vuoi verificare se la tua funzione $f(x)=4x^2-1$ è continua nel punto $x=5$.
Innanzitutto calcoliamo $f(5)$ che è uguale a $99$.
Ora calcoliamo il limite $lim_(x->5)(4x^2-1)$, che cosa da come risultato? In questa tipologia di limiti basta sostituire, quindi ottieniamo che il limite da come risultato $99$.
Ora, il risultato del limite è uguale alla funzione calcolata nel punto? Si, quindi la $f(x)$ è continua nel punto $x=5$.
Se provi ad applicare lo stesso ragionamento alla seconda funzione, nel punto $x=-1$ vedrai che non riuscirai ad arrivare alla medesima soluzione in quanto quella funzione, in tale punto, non è continua.
Allora, la tua definizione è corretta. $x_0$ è un punto in cui vuoi verificare se la tua funzione è continua, facciamo un esempio:
vuoi verificare se la tua funzione $f(x)=4x^2-1$ è continua nel punto $x=5$.
Innanzitutto calcoliamo $f(5)$ che è uguale a $99$.
Ora calcoliamo il limite $lim_(x->5)(4x^2-1)$, che cosa da come risultato? In questa tipologia di limiti basta sostituire, quindi ottieniamo che il limite da come risultato $99$.
Ora, il risultato del limite è uguale alla funzione calcolata nel punto? Si, quindi la $f(x)$ è continua nel punto $x=5$.
Se provi ad applicare lo stesso ragionamento alla seconda funzione, nel punto $x=-1$ vedrai che non riuscirai ad arrivare alla medesima soluzione in quanto quella funzione, in tale punto, non è continua.
ahhhhhhhhhh capito!!! Il punto x0 per dimostrare che è contunia lo si sceglie a piacere all'interno del dominio?
Per fare esercizi di applicazione della definizione direi di si. Poi quando farai pratica non dovrai ogni volta calcolare il limite per trovare i punti in cui la funzione non è continua.
okkè Grazieeee sei gentilissimooo!!!
Se hai altri dubbi e/o esercizi che ti lasciano perplesso postali! Ciao! 
ecco il seguente limitee
lim x--> infinito di [sqrt(x^2 + 1)] / (x+1)= 1
Non risco a capire come scomporlo e che fare !!1 :S
lim x--> infinito di [sqrt(x^2 + 1)] / (x+1)= 1
Non risco a capire come scomporlo e che fare !!1 :S
Innanzitutto cerca di imparare come si scrivono le formule, leggi qui: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Poi, il tuo limite è questo? $lim_(x->+oo)sqrt(x^2+1)/(x+1)$
Poi c'è un'altra cosa che non capisco, il testo dell'esercizio chiede di calcolare il limite? Perchè riporti già il risultato del limite?
Poi, il tuo limite è questo? $lim_(x->+oo)sqrt(x^2+1)/(x+1)$
Poi c'è un'altra cosa che non capisco, il testo dell'esercizio chiede di calcolare il limite? Perchè riporti già il risultato del limite?
scusa T.T comunque la traccia è quella che avvo scritto all'inizio, cioè verificare il limite, sapendo che se lo calcoli in modo diretto esce una forma indeterminata. Dice anche di usare, se necessario, i teoremi sui limiti. Questo esercizio si trova nel capitolo delle funzioni continue...
Se devi effettuare la verifica del limite hai bisogno di applicare la definizione di limite con gli intorni, se invece lo devi calcolare ti basta raccogliere il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore, in particolare in questo caso potrai portare fuori dalla radice la $x^2$ che si andrà a semplificare con la $x$ che raccoglierai al denominatore. I termini $1/x^2$ e $1/x$ tenderanno a zero e ti resterà $1/1=1$ che è appunto il risultato finale!
scusa la mia ignoranza, ma se nella radice il termine al quadrato è addizionato a un numero, come faccio a portarlo fuori?
Eccoti i passaggi, da qua ti trovi?
$lim_(x->+oo)sqrt(x^2+1)/(x+1)=lim_(x->+oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x*(1+1/x))=lim_(x->+oo)(x*sqrt(1+1/x^2))/(x*(1+1/x))=1$
$lim_(x->+oo)sqrt(x^2+1)/(x+1)=lim_(x->+oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x*(1+1/x))=lim_(x->+oo)(x*sqrt(1+1/x^2))/(x*(1+1/x))=1$
ahhhhhhhhhhh scusaaaa. Il limite, oltre che ad essere nell'esercizio,è anche nella mia testa >.< . Il fatto su cui mi sto fissando è che questo tipo di esercizi si trovavano nel capitolo precedente, che trattava dei limiti e basta. Non capisco se questi esercizi c'entrano qualcosa con le funzioni continuee bah. Comunque grazie ancora!!!
Buona domenica e scusa ancora. Comunque il problema l'ho risolto abbastanza, poichè il prof ha detto che sono semplicemente limiti da calcolare e che si trovano nel capitolo successivo perchè magari di tanto in tanto c'è da usare qualche teorema. Gli esercizi mi riescono abbastanza, ma devo esercitarmi motlo perchè la settimana prossima ho il compito... . Solo alcuni non li ho capiti e in particolare questo:
lim x che tende a meno infinito di [radice(-x^3) + 1]/ [x*(radice di |x|)+2]
sia se al numeratore porto fuori la x e poi metto in evidenza sopra e sotto, sia se metto in evidenza la x^2 con la radice negativa, arrivo sempre ad una forma indeterminata...puoi farmi vedere un altro metodo? Si fa con qualche teorema per caso?
Scusa se ho scrtto così, ma non ho ancora capito come utilizzare il linguaggio matematico..
lim x che tende a meno infinito di [radice(-x^3) + 1]/ [x*(radice di |x|)+2]
sia se al numeratore porto fuori la x e poi metto in evidenza sopra e sotto, sia se metto in evidenza la x^2 con la radice negativa, arrivo sempre ad una forma indeterminata...puoi farmi vedere un altro metodo? Si fa con qualche teorema per caso?
Scusa se ho scrtto così, ma non ho ancora capito come utilizzare il linguaggio matematico..
vabbe ho risolto... 
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