Faccenda complicata
io dovrei studiare questa equazione alle differenze, vedere come si comporta insomma...
$x_(t+1)=alpha*betax_t^2+gx_t+x_t
quindi la curva è una parabola, il suo massimo è il vertice ed è dato da $-(1+g)/(2alpha*beta)
i punti di equilibrio sono uno $x=0$, l'altro $x=-g/(alpha*beta)$ giusto?
volevo sapere se una volta che arrivo al punto di equilibrio $x=-g/(alpha*beta)$ ipotizzando che sia stabile di periodo 2, l'equilibrio "ballerà" tra due punti, uno prima del vertice e uno dopo il punto d'equilibrio, formando il ciclo ipotizzato.
Mettiamo che a questo punto, dopo che si è raggiunto l'equilibrio il coefficiente g che determina il vertice subisca un crollo (quindi diventa una variabile) e l'unico punto di intersezione con y=x sia in x=0.
la mia domanda è questa:
In questo caso come si comporta dopo la biforcazione avvenuta $x_(t+1)$? cadrà dal punto di stabilità dove era situato al nuovo punto di stabilità x=0?
speriamo di aver scritto bene tutto
$x_(t+1)=alpha*betax_t^2+gx_t+x_t
quindi la curva è una parabola, il suo massimo è il vertice ed è dato da $-(1+g)/(2alpha*beta)
i punti di equilibrio sono uno $x=0$, l'altro $x=-g/(alpha*beta)$ giusto?
volevo sapere se una volta che arrivo al punto di equilibrio $x=-g/(alpha*beta)$ ipotizzando che sia stabile di periodo 2, l'equilibrio "ballerà" tra due punti, uno prima del vertice e uno dopo il punto d'equilibrio, formando il ciclo ipotizzato.
Mettiamo che a questo punto, dopo che si è raggiunto l'equilibrio il coefficiente g che determina il vertice subisca un crollo (quindi diventa una variabile) e l'unico punto di intersezione con y=x sia in x=0.
la mia domanda è questa:
In questo caso come si comporta dopo la biforcazione avvenuta $x_(t+1)$? cadrà dal punto di stabilità dove era situato al nuovo punto di stabilità x=0?
speriamo di aver scritto bene tutto
Risposte
"fu^2":
io dovrei studiare questa equazione alle differenze, vedere come si comporta insomma...
$x_(t+1)=alpha*betax_t^2+gx_t+x_t
quindi la curva è una parabola, il suo massimo è il vertice ed è dato da $-(1+g)/(2alpha*beta)
i punti di equilibrio sono uno $x=0$, l'altro $x=-g/(alpha*beta)$ giusto?
Si mi sembra giusto
"fu^2":
volevo sapere se una volta che arrivo al punto di equilibrio $x=-g/(alpha*beta)$ ipotizzando che sia stabile di periodo 2, l'equilibrio "ballerà" tra due punti, uno prima del vertice e uno dopo il punto d'equilibrio, formando il ciclo ipotizzato.
Mettiamo che a questo punto, dopo che si è raggiunto l'equilibrio il coefficiente g che determina il vertice subisca un crollo (quindi diventa una variabile) e l'unico punto di intersezione con y=x sia in x=0.
la mia domanda è questa:
In questo caso come si comporta dopo la biforcazione avvenuta $x_(t+1)$? cadrà dal punto di stabilità dove era situato al nuovo punto di stabilità x=0?
speriamo di aver scritto bene tutto
Qui sinceramente non ho capito bene cosa chiedi...
quello che voglio dire è:
-ipotizzando che l'equilibrio si "forma" nel punto $x=-g/(alpha*beta)$ e questo equilibrio è un equilibrio stabile se considerato un ciclo di periodo due, quindi l'equilibrio sarà formato da una struttura che "ballerà" tra x3 e x4 (che sono i due nuovi punti di equilibrio della funzione di periodo due ($f^2$) fin qui è chiaro quello che voglio dire?
a questo punto ipotizzaimo che g cambi valore, diminuendo in valore assoluto, questo crerà un abbassamento della parabola in quanto si è abbassato il vertice, ipotizzaimo che l'unico punto che interseca la bisettrice è x=0.
quindi il punto che era in equilibrio prima, che fine fa? cade al nuovo punto d'equilibrio x=0?
spero di essere stato + chiaro ora
-ipotizzando che l'equilibrio si "forma" nel punto $x=-g/(alpha*beta)$ e questo equilibrio è un equilibrio stabile se considerato un ciclo di periodo due, quindi l'equilibrio sarà formato da una struttura che "ballerà" tra x3 e x4 (che sono i due nuovi punti di equilibrio della funzione di periodo due ($f^2$) fin qui è chiaro quello che voglio dire?
a questo punto ipotizzaimo che g cambi valore, diminuendo in valore assoluto, questo crerà un abbassamento della parabola in quanto si è abbassato il vertice, ipotizzaimo che l'unico punto che interseca la bisettrice è x=0.
quindi il punto che era in equilibrio prima, che fine fa? cade al nuovo punto d'equilibrio x=0?
spero di essere stato + chiaro ora
Beh se ho capito bene al tempo $t$, $g$ è ancora tale che ci siano intersezioni con la retta $y=x$. Al tempo $t+1$; $g$ è cambiato e non ci sono più intersezioni (quindi $g=0$) se non in $0$. Beh a quel punto se $x=0$ è un equilibrio stabile $x_3$ e $x_4$ appartengono al bacino di attrazione di tale equilibrio si dovrebbe convergere a $0$. Questo dipende anche dai parametri in gioco... La derivata prima in $0$ è $1$ quindi bisogna lavora un po' per capire se l'equilibrio è stabile o meno... comunque se $g>0$ e $\alpha\beta < 0 $ come mi pare di aver capito allora $x_3,x_4>0$ quindi basta osservare che:
$0 < \alpha \beta x^2 + x < x \qquad \forall x>0, x < -1/(\alpha\beta)$
da cui se ne deduce che $x_t$ è monotona decrescente e converge a zero se $x_3, x_4 < -1/(\alpha\beta)$, se uno dei due punti(*) è maggiore di $-1/(\alpha\beta)$ la successione diverge a meno infinito visto che:
$ \alpha \beta x^2 + x < x \qquad \forall x \ne 0$
*** EDIT ***
PS: Magari si può usare qualche criterio sulle derivate seconde e terze per capire che 0 è stabile a destra e che il bacino di attrazione è quindi $(0,-1/(\alpha\beta))$, ma non mi ricordo più quei criteri!
*** EDIT 2 ***
(*) dipende da dove ci troviamo se in $x_3$ o in $x_4$.
$0 < \alpha \beta x^2 + x < x \qquad \forall x>0, x < -1/(\alpha\beta)$
da cui se ne deduce che $x_t$ è monotona decrescente e converge a zero se $x_3, x_4 < -1/(\alpha\beta)$, se uno dei due punti(*) è maggiore di $-1/(\alpha\beta)$ la successione diverge a meno infinito visto che:
$ \alpha \beta x^2 + x < x \qquad \forall x \ne 0$
*** EDIT ***
PS: Magari si può usare qualche criterio sulle derivate seconde e terze per capire che 0 è stabile a destra e che il bacino di attrazione è quindi $(0,-1/(\alpha\beta))$, ma non mi ricordo più quei criteri!
*** EDIT 2 ***
(*) dipende da dove ci troviamo se in $x_3$ o in $x_4$.
"david_e":
*** EDIT 2 ***
(*) dipende da dove ci troviamo se in $x_3$ o in $x_4$.
in che senso dove ci troviamo? cosa cambierebbe per l'evolversi della situazione?
grazie dei chiarimenti
Nel senso che se al tempo $t$ $x_t=x_3$ e $x_3$ è nella famosa regione di attrazione allora $x_t \rightarrow 0 $, indipendentemente dalla posizione di $x_4$. Analogamente per il caso opposto $x_t=x_4$.
perfetto allora se avrò altri dunbbi chiederò....
per ora grazie !!
per ora grazie !!
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