[EX] Un po’ di Geometria

[gugo82]

Propongo come esercizio la dimostrazione di teoremi che usualmente si dimostrano sfruttando la trigonometria.
I primi due sono, infatti, gli enunciati atrigonometrici del teorema del coseno, mentre il terzo è la cosiddetta identità del parallelogramma (la quale, a dispetto delle apparenze, esprime una proprietà fondamentale dello spazio euclideo che consente di distinguere tale spazio da altri non dotati della medesima struttura[nota]Come ben sa chi ha studiato un po’ l’Analisi Funzionale.[/nota]).
Ovviamente, lo sfizio del problema sta nel dimostrare i tre risultati sfruttando la Geometria e l’Algebra del biennio… Per questo sarei molto contento che venisse affrontato dagli studenti delle superiori.

***

Problemi:

1. In un triangolo acutangolo, la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente alla somma del quadrato costruito sul terzo lato e del doppio del rettangolo che ha come dimensioni il primo lato e la proiezione del secondo su di esso.

2. In un triangolo ottusangolo, la somma dei quadrati costruiti sui due lati che formano l’angolo ottuso e del doppio del rettangolo che ha come dimensioni il primo lato e la proiezione del secondo su di esso è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato (quello opposto all’angolo ottuso).

3. In un parallelogramma, la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui quattro lati.

Suggerimenti:

1 & 2. Chiamare $a,b,c$ i tre lati del triangolo e $p$ la proiezione di $b$ su $a$. Sfruttare il Teorema di Pitagora un paio di volte.
3. Chiamare $a,b$ i lati e $d <= D$ le diagonali del parallelogramma. Sfruttare i risultati 1 e 2 e mettere tutto insieme.

[gugo82]

"gugo82":Problemi:

1. In un triangolo acutangolo, la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente alla somma del quadrato costruito sul terzo lato e del doppio del rettangolo che ha come dimensioni il primo lato e la proiezione del primo lato sul secondo.

Detti:

[*:2i9kdx7w] $a$, $b$, $c$ le lunghezze dei tre lati del triangolo;

[/*:m:2i9kdx7w]
[*:2i9kdx7w] $h$ la lunghezza dell’altezza relativa al lato $a$;

[/*:m:2i9kdx7w]
[*:2i9kdx7w] $p$ la lunghezza della proiezione di $b$ su $a$ (interna al lato $a$),[/*:m:2i9kdx7w][/list:u:2i9kdx7w]

dobbiamo dimostrare che $a^2 + b^2 = c^2 + 2 a*p$.

I due triangoli in cui $h$ divide il triangolo di partenza sono rettangoli ed hanno lati lunghi $p$ (cateto), $b$ (ipotenusa) ed $h$ (cateto) e $a-p$ (cateto), $h$ (cateto) e $c$ (ipotenusa); applicando il teorema di Pitagora ad entrambi troviamo:
\[
\left. \begin{split} h^2 &= b^2 - p^2 \\ h^2 &= c^2 - (a-p)^2 \end{split} right\}\quad \Rightarrow\quad b^2 - p^2 = c^2 - (a-p)^2 \quad \Rightarrow\quad b^2 - p^2 = c^2 - a^2 + 2ap - p^2
\]
che è la tesi.




"gugo82":2. In un triangolo ottusangolo, la somma dei quadrati costruiti sui due lati che formano l’angolo ottuso e del doppio del rettangolo che ha come dimensioni il primo lato e la proiezione del secondo su di esso è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato (quello opposto all’angolo ottuso).


Diamo gli stessi nomi ai segmenti coinvolti e, per la precisione, chiamiamo $c$ il lato opposto all’angolo ottuso.
Dobbiamo dimostrare che $a^2 + b^2 + 2a*p = c^2$.

La dimostrazione fornita per il punto 1 continua ad essere valida, ma stavolta i triangoli rettangoli hanno lati di lunghezze $p$ (cateto), $b$ (ipotenusa) ed $h$ (cateto) e $a+p$ (cateto), $h$ (cateto) e $c$ (ipotenusa) perché la proiezione $p$ di $b$ su $a$ è esterna al lato.
Dunque come sopra otteniamo:
\[
\left. \begin{split} h^2 &= b^2 - p^2 \\ h^2 &= c^2 - (a + p)^2 \end{split} right\}\quad \Rightarrow\quad b^2 - p^2 = c^2 - (a-p)^2 \quad \Rightarrow\quad b^2 - p^2 = c^2 - a^2 - 2ap - p^2
\]
che è la tesi.




"gugo82":3. In un parallelogramma, la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui quattro lati.


Chiamiamo:

[*:2i9kdx7w] $a$, $b$ le lunghezze di due lati consecutivi del parallelogramma;

[/*:m:2i9kdx7w]
[*:2i9kdx7w] $d <= D$ le lunghezze delle due diagonali;
[/*:m:2i9kdx7w]
[*:2i9kdx7w] $p$ la lunghezza della proiezione di $b$ su $a$.[/*:m:2i9kdx7w][/list:u:2i9kdx7w]
Dobbiamo dimostrare che $d^2 + D^2 = 2a^2 + 2b^2$.

Se $d=D$ allora il parallelogramma è un rettangolo e dal Teorema di Pitagora segue immediatamente $d^2=a^2+b^2=D^2$; da ciò si deduce la tesi.
Se $d La diagonale $d$ forma con due lati consecutivi un angolo acutangolo, dunque risulta $a^2 + b^2 = d^2 + 2a*p$ per teorema precedente.
Analogamente, $D$ forma con due lati consecutivi un triangolo ottusangolo in cui $D$ è opposto all’angolo ottuso, dunque per teorema precedente risulta $a^2 + b^2 + 2a*p = D^2$.
Sommando membro a membro le due uguaglianze riesce $2a^2 + 2b^2 + 2a*p = D^2 + d^2 +2a*p$, che è la tesi.