[EX] Sulle coniche

[gugo82]

Esercizio:

Siano \(r,s,t\) tre rette del piano.
Dimostrare che il luogo dei punti \(P\) del piano tali che il quadrato della distanza di \(P\) da \(r\) è uguale al prodotto delle distanze di \(P\) da \(s\) e da \(t\) è una conica.

Suggerimento: Cominciare supponendo che \(s\bot t\), per poi generalizzare. Se serve, distinguere i casi \(r=s\), \(r\parallel s\), \(r\) incidente \(s\) e \(t\).

[nicol1]

Ci provo:
Chiamo $ a $ la distanza di $ P $ da $ r $, e $ b,c$ le distanze da $ s $ e $ t $ .
Avremo che $ a^2=bc $, ne risulta, conoscendo la formula per la distanza di un punto da una retta, che è un'equazione di secondo grado, e dunque una conica.
Può andare?

[vict85]

\(bc\) contiene il prodotto di due radicali, insomma non è proprio immediato. Per lo meno dovresti mostrare i calcoli.

[nicol1]

Beh, i radicandi non contengono le due variabili $ x,y $ quindi non è necessario eliminarli elevando al quadrato (se è questo che intendevi)

[giammaria2]

Bé, io ho fatto lo stesso ragionamento di nicol ma a me risultano due coniche.
Siano $a_kx+b_ky+c_k=0" "(k=1,2,3)$ le equazioni delle tre rette e sia $P(x,y)$ un punto del luogo; deve essere
$((|a_1x+b_1y+c_1|)/sqrt(a_1^2+b_1^2))^2=(|a_2x+b_2y+c_2|)/sqrt(a_2^2+b_2^2)*(|a_3x+b_3y+c_3|)/sqrt(a_3^2+b_3^2)$
cioè
$((a_1x+b_1y+c_1)/sqrt(a_1^2+b_1^2))^2=+-(a_2x+b_2y+c_2)/sqrt(a_2^2+b_2^2)*(a_3x+b_3y+c_3)/sqrt(a_3^2+b_3^2)$
che rappresenta due equazioni di secondo grado (quella col più e quella col meno) e quindi due coniche.

[gugo82]

Hai ragione giammaria... Però sono stato volutamente ambiguo.

Infatti, tutto il problema, col carico di ambiguità che porta alla luce della Geometria Analitica, ha una notevole importanza dal punto di vista storico... Sapete perchè?

[chiaraotta1]

http://debart.pagesperso-orange.fr/geom ... appus.html