[EX] Problema sui parallelogrammi
Un problema sui parallelogrammi che ho scoperto sfogliando un vecchio libro... Mi pare una cosa quasi magica. 
Problema:
Siano $L$, $M$, $N$ ed $O$ i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso $ABCD$.
1. Provare che $LMNO$ è un parallelogramma.
2. Provare che se $ABCD$ è un trapezio isoscele o un rettangolo, allora $LMNO$ è un rombo.
3. Provare che se $ABCD$ è un rombo, allora $LMNO$ è un rettangolo.
4. Provare che se $ABCD$ è un quadrato, allora $LMNO$ è un quadrato?
5. È vero il viceversa delle proposizioni 2, 3 e 4?
6. La 1 continua a valere se $ABCD$ è un quadrilatero concavo?
Problema:
Siano $L$, $M$, $N$ ed $O$ i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso $ABCD$.
1. Provare che $LMNO$ è un parallelogramma.
2. Provare che se $ABCD$ è un trapezio isoscele o un rettangolo, allora $LMNO$ è un rombo.
3. Provare che se $ABCD$ è un rombo, allora $LMNO$ è un rettangolo.
4. Provare che se $ABCD$ è un quadrato, allora $LMNO$ è un quadrato?
5. È vero il viceversa delle proposizioni 2, 3 e 4?
6. La 1 continua a valere se $ABCD$ è un quadrilatero concavo?
Risposte
Il problema, fino alla domanda 4, è un classico. Alle domande 5 e 6 non avevo mai pensato, ma sono un approfondimento stimolante.
"@melia":
Il problema, fino alla domanda 4, è un classico.
Non mi ricordavo proprio queste proprietà, devo essere sincero...
Provare la prima è la parte difficile, il resto segue facile.
"@melia":
Alle domande 5 e 6 non avevo mai pensato, ma sono un approfondimento stimolante.
Mi sono venute in mente così.
La 1 credo che sia comunque vera anche per i quadrilateri concavi, almeno dai casi che ho disegnato...
Tracciando le diagonali, diventa un'applicazione della corrispondenza parallela di Talete, questo permette di dimostrare anche il punto 6.
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