Euqazione numeri complessi 2...
Ciao. Ho ancora problemi con la risoluzione di equazioni con i numeri complessi.
L'equazione che sto cercando di risolvere è:
In questo caso esistono due modi per risolverla...
1) Provare a sostituire a z le componenti del piano complesso (a + ib):
Quindi separo la parte immaginaria dalla parte reale.
E metto a sistema le due parti eguagliate a zero... il sistema però per me è di difficile risoluzione...
Come risolvo il sistema? In questo caso mi sembra particolarmente difficile...
2) Oppure sarebbe possibile utilizzare la formuletta per le normali equazioni di secondo grado...
Io ho considerato che (1 -i) è sotto radice, quindi ho pensato di svolgere la radice quadrata del numero complesso...
Solo che giunto a questo punto non sò come semplificare... perché il risultato dovrebbe venire:
Solo due parole: semplicemente difficile.
Mi potreste aiutare gentilmente? Grazie in anticipo.
L'equazione che sto cercando di risolvere è:
[math]z^2+2z+i=0[/math]
In questo caso esistono due modi per risolverla...
1) Provare a sostituire a z le componenti del piano complesso (a + ib):
[math](a+ib)^2+2(a+ib)+i=0[/math]
[math]a^2+2iab-b^2+2a+2ib+i=0[/math]
Quindi separo la parte immaginaria dalla parte reale.
[math](a^2-b^2+2a) + i(2ab+2b+1) = 0[/math]
E metto a sistema le due parti eguagliate a zero... il sistema però per me è di difficile risoluzione...
[math]
\begin{cases}
& a^2-b^2+2a=0
& 2ab+2b+1=0
\end{cases}
[/math]
\begin{cases}
& a^2-b^2+2a=0
& 2ab+2b+1=0
\end{cases}
[/math]
Come risolvo il sistema? In questo caso mi sembra particolarmente difficile...
2) Oppure sarebbe possibile utilizzare la formuletta per le normali equazioni di secondo grado...
[math]-1 \pm \sqrt{1-i}[/math]
Io ho considerato che (1 -i) è sotto radice, quindi ho pensato di svolgere la radice quadrata del numero complesso...
[math]-1 \pm \sqrt[4]{2}(\cos (\frac{\frac{\pi}{4} +2k\pi}{2})- \sin (\frac{\frac{\pi}{4} +2k\pi}{2}))[/math]
, con k=0 e k=1.Solo che giunto a questo punto non sò come semplificare... perché il risultato dovrebbe venire:
[math]z_1 = -1+\frac{\sqrt[4]{2}}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})[/math]
[math]z_2 = -1-\frac{\sqrt[4]{2}}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})[/math]
Solo due parole: semplicemente difficile.
Mi potreste aiutare gentilmente? Grazie in anticipo.
Risposte
Dunque: avendo la radice di
e non come hai fatto tu! Infatti l'argomento che devi scegliere è quello che ti dà il coseno positivo e il seno negativo, e quindi corrisponde ad un angolo del IV quadrante. A questo punto
da cui
Per calcolare i valori dei coseni e seni, osserva che
Analogamente, essendo
Ne segue
che, se ci pensi un attimo, sono esattamente le soluzioni che cercavi.
Ora, però, ti consiglio come procedere quado devi trovare le radici quadrate di un numero complesso senza usare la formula di de Moivre!
Se
e quindi risolvere il sistema
essendo
da cui, posto
(nota che esistono entrambe le soluzioni, reali!) A questo punto risolvi l'equazione
(l'unica possibile in quanto l'altra radice sarà sicuramente negativa!) e ricavi
Da questa trovi
e quindi i valori delle radici complesse. Prova a rifarlo così, l0esercizio, partendo dall'idea che
per cui poni
[math]1-i[/math]
puoi scrivere il numero come[math]1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)[/math]
e non come hai fatto tu! Infatti l'argomento che devi scegliere è quello che ti dà il coseno positivo e il seno negativo, e quindi corrisponde ad un angolo del IV quadrante. A questo punto
[math]\sqrt{1-i}=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{7\pi/4+k\pi}{2}+i\sin\frac{7\pi/4+k\pi}{2}\right),\qquad k=0,1,[/math]
da cui
[math]z_0=-1+\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}\right)\\
z_1=-1+\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11\pi}{8}+i\sin\frac{11\pi}{8}\right).[/math]
z_1=-1+\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11\pi}{8}+i\sin\frac{11\pi}{8}\right).[/math]
Per calcolare i valori dei coseni e seni, osserva che
[math]7\pi/8=(7\pi/4)/2[/math]
ed è un angolo del II quadrante, per cui usando la formula di bisezione[math]\cos\frac{7\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}-1},[/math]
[math]\sin\frac{7\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}+1}.[/math]
Analogamente, essendo
[math]11\pi/8=(11\pi/4)/2[/math]
un angolo del III quadrante[math]\cos\frac{11\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}-1},[/math]
[math]\sin\frac{11\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}+1}.[/math]
Ne segue
[math]z_0=-1+\sqrt[4]{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\left(-\sqrt{\sqrt{2}-1}+i\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)=-1-\sqrt{2}\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}-i\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)[/math]
[math]z_1=-1+\sqrt[4]{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\left(-\sqrt{\sqrt{2}-1}-i\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)=-1-\sqrt{2}\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}+i\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)[/math]
che, se ci pensi un attimo, sono esattamente le soluzioni che cercavi.
Ora, però, ti consiglio come procedere quado devi trovare le radici quadrate di un numero complesso senza usare la formula di de Moivre!
Se
[math]z=a+ib[/math]
è il numero complesso, vuoi trovare un altro numero [math]w=x+iy[/math]
tale che [math]w^2=z[/math]
e quindi[math]x^2-y^2+2ixy=a+ib[/math]
e quindi risolvere il sistema
[math]x^2-y^2=a,\qquad 2xy=b[/math]
essendo
[math]x=b/(2y)[/math]
trovi l'equazione biquadratica[math]4y^4+4ay^2-b^2=0[/math]
da cui, posto
[math]t=y^2[/math]
l'equazione [math]4t^2+4at-b^2=0[/math]
le cui radici sono[math]t_{1/2}=\frac{-4a\pm4\sqrt{a^2+b^2}}{8}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}[/math]
(nota che esistono entrambe le soluzioni, reali!) A questo punto risolvi l'equazione
[math]y^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}[/math]
(l'unica possibile in quanto l'altra radice sarà sicuramente negativa!) e ricavi
[math]y=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}[/math]
Da questa trovi
[math]x=\pm\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}[/math]
e quindi i valori delle radici complesse. Prova a rifarlo così, l0esercizio, partendo dall'idea che
[math]z^2+2z+i=0\Rightarrow (z+1)^2=1-i[/math]
per cui poni
[math]w=z+1=x+iy,\ a=1,\ b=-1[/math]
.
Grazie mille!
Ma facendo un sistema non possono essere risolte tutte le equazioni? Perché a me i sistemi a volte vengono difficili da risolvere.
P.S: Ma se lasciassi il risultato ricavato con De Moivre senza semplificarlo con leformule di bisezione, non vale lo stesso? Dovrebbe essere solo una questione di calcolo... potrebbe darmi punti in meno?
----------------------------------
Scusa se approfitto della tua disponibilità, ma c'è un'altra equazione complessa che proprio non sò risolvere... non ho idee...
Il modulo è stato messo li proprio per rompere le scatole ai poveri studenti e far divertire i professori di matematica.
Ora, io sò che il modulo di un numero complesso non è altro che
ciampax:Ma se scrivessi 45° mettendo un segno di meno davanti alla parte immaginaria non è la stessa cosa?
e non come hai fatto tu! Infatti l'argomento che devi scegliere è quello che ti dà il coseno positivo e il seno negativo, e quindi corrisponde ad un angolo del IV quadrante.
ciampax:Ops, le formule di bisezione e gli archi associati li ho rimossi completamente dalla memoria... e poi per me è difficile avere queste intuizioni...
A questo punto
[math]\sqrt{1-i}=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{7\pi/4+k\pi}{2}+i\sin\frac{7\pi/4+k\pi}{2}\right),\qquad k=0,1,[/math]
da cui
[math]z_0=-1+\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}\right)\\
z_1=-1+\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11\pi}{8}+i\sin\frac{11\pi}{8}\right).[/math]
Per calcolare i valori dei coseni e seni, osserva che[math]7\pi/8=(7\pi/4)/2[/math]ed è un angolo del II quadrante, per cui usando la formula di bisezione
[math]\cos\frac{7\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}-1},[/math]
[math]\sin\frac{7\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}+1}.[/math]
Analogamente, essendo[math]11\pi/8=(11\pi/4)/2[/math]un angolo del III quadrante
[math]\cos\frac{11\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}-1},[/math]
[math]\sin\frac{11\pi}{8}=-\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{2}+1}.[/math]
Questo vale solo per le radici quadrate oppure posso estenderlo a tutte le radici?
Ora, però, ti consiglio come procedere quado devi trovare le radici quadrate di un numero complesso senza usare la formula di de Moivre!
Ma facendo un sistema non possono essere risolte tutte le equazioni? Perché a me i sistemi a volte vengono difficili da risolvere.
P.S: Ma se lasciassi il risultato ricavato con De Moivre senza semplificarlo con leformule di bisezione, non vale lo stesso? Dovrebbe essere solo una questione di calcolo... potrebbe darmi punti in meno?
----------------------------------
Scusa se approfitto della tua disponibilità, ma c'è un'altra equazione complessa che proprio non sò risolvere... non ho idee...
[math]z-\frac{z}{|z|}+1=0[/math]
Il modulo è stato messo li proprio per rompere le scatole ai poveri studenti e far divertire i professori di matematica.
Ora, io sò che il modulo di un numero complesso non è altro che
[math]\sqrt{a^2+b^2}[/math]
. E se sostituissi z con le componenti... non risolverei niente. Si può semplificare [math]\frac{z}{|z|}[/math]
? Magari qualche regola che mi sfugge al momento?
1) sì, andrebbe bene anche -45, ma le determinazioni principali si fanno con gli angoli tra 0 e 360! :)
2) solo quadrate
3) sì, ma possono venirti sistemi angoscianti!
4) in generale quello è già il risultato. il problema è se ti chiede: determinare le radici in forma cartesiana! :)
5) Dunque, in questo caso forse conviene fare così: scrivi
da cui
Ora,
da cui
e quindi
Segue che le soluzioni sono
(se non ho fatto errori del kaiser!)
2) solo quadrate
3) sì, ma possono venirti sistemi angoscianti!
4) in generale quello è già il risultato. il problema è se ti chiede: determinare le radici in forma cartesiana! :)
5) Dunque, in questo caso forse conviene fare così: scrivi
[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]
per cui[math]\rho e^{i\theta}-e^{i\theta}+1=0[/math]
da cui
[math]\rho=\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}}=1-e^{-i\theta}[/math]
Ora,
[math]\rho\in\mathbb{R}[/math]
quindi deve pure essere[math]1-e^{-i\theta}=(1-\cos\theta)+i\sin\theta\in\mathbb{R}[/math]
da cui
[math]\sin\theta=0\Rightarrow \theta=k\pi[/math]
e quindi
[math]\rho=1-\cos\theta=1-\cos(k\pi)=1-(-1)^k=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & k=2h\\ 2 & & k=2h+1
\end{array}\right.[/math]
0 & & k=2h\\ 2 & & k=2h+1
\end{array}\right.[/math]
Segue che le soluzioni sono
[math]z=0,\qquad z=2e^{(2k+1)\pi}=-2.[/math]
(se non ho fatto errori del kaiser!)
Grazie per le risposte.
Il metodo risolutivo da te proposto per l'equazione non è che l'abbia capito molto bene...
Tu riscrivi nella forma esponenziale l'equazione, considerando che il rapporto
Ehm... e adesso come fai a dedurre che l'angolo sia 0°? Arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e parte reale? Ma se non abbiamo alcun valore come facciamo a saperlo?
Invece se fosse una equazione del tipo:
Risolvo con lo stesso metodo? Perché fare il sistema è impossibile... Essendo un'equazione di quarto grado ci sono 4 soluzioni...
E' corretto scrivere come segue? Però poi che faccio...?
Il metodo risolutivo da te proposto per l'equazione non è che l'abbia capito molto bene...
Tu riscrivi nella forma esponenziale l'equazione, considerando che il rapporto
[math]\frac{z}{|z|}[/math]
è uguale al numero complesso z privato del modulo [math]\rho[/math]
. Poi ti ricavi [math]\rho[/math]
dall'equazione (non ho capito bene il perché) e trasformi l'equazione in forma trigonometrica.[math]1-(\cos \theta - i\sin \theta) = 1-\cos \theta + isin\theta[/math]
Ehm... e adesso come fai a dedurre che l'angolo sia 0°? Arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e parte reale? Ma se non abbiamo alcun valore come facciamo a saperlo?
Invece se fosse una equazione del tipo:
[math]z^4 +2i|z|=0[/math]
Risolvo con lo stesso metodo? Perché fare il sistema è impossibile... Essendo un'equazione di quarto grado ci sono 4 soluzioni...
E' corretto scrivere come segue? Però poi che faccio...?
[math]\rho^4 e^{i4\theta} +2i\rho=0[/math]
la parte immaginaria deve essere pari a 0 perchè rho è un modulo, pertanto un numero reale (positivo)
Ah, giusto. Grazie. Però non ho capito perché si deve ricavare rho dall'equazione per risolverla...
in un'equazione in coordinate polari le incognite sono rho e theta. in questo caso theta poteva assumere valori k*pg, per cui hai potuto determinare le soluzioni per rho.
xico87:
in un'equazione in coordinate polari le incognite sono rho e theta. in questo caso theta poteva assumere valori k*pg, per cui hai potuto determinare le soluzioni per rho.
Sì, hai ragione. Me lo ero dimenticato... :dozingoff
Invece per risolvere l'equazione:
[math]z^4+2i|z|=0[/math]
?
prova con la stessa sostituzione che ha fatto ciampax.. in forma cartesiana sarebbe scomodo considerando che hai un quarto grado
xico87:
prova con la stessa sostituzione che ha fatto ciampax.. in forma cartesiana sarebbe scomodo considerando che hai un quarto grado
Così?
[math]\rho^4 e^{i4\theta} +2i\rho=0[/math]
E poi?
una soluzione è rho = 0
poi fai il sistema:
rho^3*cos(4theta) = 0
rho^3*sen(4theta) = -2
ovviamente la soluzione rho = 0 avrà molteplicità 1, altrimenti il sistema non è compatibile
poi fai il sistema:
rho^3*cos(4theta) = 0
rho^3*sen(4theta) = -2
ovviamente la soluzione rho = 0 avrà molteplicità 1, altrimenti il sistema non è compatibile
xico87:
una soluzione è rho = 0
poi fai il sistema:
rho^3*cos(4theta) = 0
rho^3*sen(4theta) = -2
ovviamente la soluzione rho = 0 avrà molteplicità 1, altrimenti il sistema non è compatibile
Un momento... tu hai diviso per
[math]\rho[/math]
. Così risulta:[math]\rho^3 e^{i4\theta}+2=0[/math]
Poi trasformi in forma trigonometrica:
[math]\rho^3 (\cos4\theta+i\sin4\theta)+2=0[/math]
E questo per me è il punto critico... perché continuo a non capire... :cry
Perché una soluzione è zero? Perché ho diviso per rho? Credo di avere le idee poco chiare... imparo cose nuove e dimentico quelle vecchie...
Il sistema non dovrebbe essere il contrario? Cioè:
[math]\rho^3 cos4\theta=-2[/math]
[math]\rho^3 sin4\theta=0[/math]
P.S: Scusa la mia ignoranza, ma che significa "ha molteplicità 1"?
molto brevemente: la molteplicità di una soluzione è il numero di soluzioni coincidenti.
ad esempio: p(x) = (a-x)(b-x)^2 ha come soluzioni a di molteplicità 1 e b di molteplicità 2.
ho detto che rho ha molteplicità 1 perchè se raccogli rho nell'eq di partenza, vedi che se lo poni = 0 soddisfi l'uguaglianza
poi, ho diviso per rho perchè sto cercando altre soluzioni oltre allo 0, quindi escludo il caso in cui rho = 0 (ma è una delle possibili soluzioni).. è come quando fai le equazioni in x:
x(a-x) = 0 ha come soluzioni x = 0 e x = a, perchè basta che uno solo di quei fattori sia 0 affinchè l'equazione sia soddisfatta, allora li vado a "studiare" singolarmente.
per il resto hai ragione, ho sbagliato a fare il conto. ma l'idea non cambia:
uguagli le parti immaginarie e le parti reali, così ottieni come hai scritto tu (brevemente: rho^3(cos + j*sen ) = -2. sen deve essere 0 perchè nel membro a destra il coefficiente di j è lo 0.. fai considerazioni simili e giungi alla soluzione).
ps: ti consiglio comunque di aspettare ciampax per risolvere questi dubbi
ad esempio: p(x) = (a-x)(b-x)^2 ha come soluzioni a di molteplicità 1 e b di molteplicità 2.
ho detto che rho ha molteplicità 1 perchè se raccogli rho nell'eq di partenza, vedi che se lo poni = 0 soddisfi l'uguaglianza
poi, ho diviso per rho perchè sto cercando altre soluzioni oltre allo 0, quindi escludo il caso in cui rho = 0 (ma è una delle possibili soluzioni).. è come quando fai le equazioni in x:
x(a-x) = 0 ha come soluzioni x = 0 e x = a, perchè basta che uno solo di quei fattori sia 0 affinchè l'equazione sia soddisfatta, allora li vado a "studiare" singolarmente.
per il resto hai ragione, ho sbagliato a fare il conto. ma l'idea non cambia:
uguagli le parti immaginarie e le parti reali, così ottieni come hai scritto tu (brevemente: rho^3(cos + j*sen ) = -2. sen deve essere 0 perchè nel membro a destra il coefficiente di j è lo 0.. fai considerazioni simili e giungi alla soluzione).
ps: ti consiglio comunque di aspettare ciampax per risolvere questi dubbi
Ti ringrazio per le risposte. Anche se qualche chiarimento in più però mi sarebbe molto utile.
dovresti dire riguardo a cosa in particolare
xico87:
dovresti dire riguardo a cosa in particolare
bè, non ho molto capito come si ricavano tutte le altre radici... le prime due sono rho = 0... ma per le altre? ci dovrebbero essere altre 6 radici (considerando anche i coniugati).
[math]z^2+21|z|=0[/math]
. Posto [math]z=\rho e^{i\theta}[/math]
si ha[math]\rho^4 e^{4i\theta}+2i\rho=0\Rightarrow \rho(\rho e^{4i\theta}+2i)=0[/math]
da cui
[math]\rho=0\qquad \rho^3 e^{4i\theta}=-2i[/math]
.Dal momento che
[math]i=e^{i\pi/2}[/math]
si ha[math]\rho^3=-2 e^{i\pi/2-4i\theta}[/math]
da cui, essendo il modulo reale e positivo, segue che[math]e^{i\pi/2-4i\theta}=-1,\qquad \rho=\sqrt[3]{2}[/math]
Per la prima equazione, ricordando che
[math]-1=e^{i(2k+1)\pi}[/math]
segue[math]\frac{\pi}{2}-4\theta=(2k+1)\pi\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{8}-\frac{2k+1}{4} \pi.[/math]
Per determinare le soluzioni, usa allora i valori di k che ti danno valori maggiori di 0 e minori di
[math]2\pi[/math]
. Si ha[math]k=0\qquad \theta=\pi/8[/math]
[math]k=-1\qquad \theta=3\pi/8[/math]
[math]k=-2\qquad \theta=7\pi/8[/math]
[math]k=-3\qquad \theta=11\pi/8[/math]
[math]k=-4\qquad \theta=13\pi/8[/math]
[math]k=-5\qquad \theta=15\pi/8[/math]
e quindi le soluzioni sono
[math]z=0,\qquad z=\sqrt[3]{2} e^{i\theta}[/math]
dove l'angolo lo scegli tra uno dei precedenti.
Uh, quindi trasformo
Essendo il modulo sempre positivo, allora anche il secondo membro deve essere positivo... quindi il prodotto tra -2 e tutto il resto deve essere positivo. Fin qui ci sono.
Ma come hai ricavato
[math]i[/math]
in forma esponenziale... non ci avrei mai pensato! Grazie, come sempre!Essendo il modulo sempre positivo, allora anche il secondo membro deve essere positivo... quindi il prodotto tra -2 e tutto il resto deve essere positivo. Fin qui ci sono.
Ma come hai ricavato
[math]\rho = \sqrt[3]{2}[/math]
? Sono un po' duro di comprendonio... :asd
Semplicemente così: tu sai che
(ho scritto
essendo il modulo dell'esponenziale complesso pari a 1.
[math]\rho^3=-2 e^{i\phi}[/math]
(ho scritto
[math]\phi[/math]
per evitare di scrivere tutto l'angolo) da cui ricavi[math]\rho^3=|\rho^3|=|-2e^{i\phi}|=|-2|\cdot|e^{i\phi}|=2[/math]
essendo il modulo dell'esponenziale complesso pari a 1.
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