Estremi d'integrazione (dubbio)
Sto svolgendo un integrale improprio, e quando vado ad applicare sostituzione, non riesco a capire perchè gli estremi d'integrazione cambiano in un determinato modo..
$\lim_{M\to \infty}\int_2^M 1/(xln^2x)dx = \lim_{M\to \infty}\int_ln2^lnM 1/y^2dy$
Ho applicato sostituzione:
quindi chiamo $y = lnx$ e quindi $dy = 1/x dx$
Però non capisco perchè negli estremi di integrazione abbiamo messo un logaritmo naturale, quale passaggio sottinteso non ho presente in questo momento?
$\lim_{M\to \infty}\int_2^M 1/(xln^2x)dx = \lim_{M\to \infty}\int_ln2^lnM 1/y^2dy$
Ho applicato sostituzione:
quindi chiamo $y = lnx$ e quindi $dy = 1/x dx$
Però non capisco perchè negli estremi di integrazione abbiamo messo un logaritmo naturale, quale passaggio sottinteso non ho presente in questo momento?
Risposte
Ciao
è semplicemente legato alla sostituzione che hai fatto
prima di sostituire, i tuoi estremi di integrazione vanno da $x = 2$ fino a $x = M$ (che poi tenderà ad infinito ovviamente)
chiamandoli in modo più generico, tu integri tra $x_1$ e $x_2$ dove $x_1 = 2$ e $x_2 = M$
applicando la sostituzione $y = ln x$, i tuoi nuovi estremi saranno $y_1 = ln x_1$ e $y_2 = ln x_2$
pertanto hai $y_1 = ln 2$ e $y_2 = ln M$
è semplicemente legato alla sostituzione che hai fatto
prima di sostituire, i tuoi estremi di integrazione vanno da $x = 2$ fino a $x = M$ (che poi tenderà ad infinito ovviamente)
chiamandoli in modo più generico, tu integri tra $x_1$ e $x_2$ dove $x_1 = 2$ e $x_2 = M$
applicando la sostituzione $y = ln x$, i tuoi nuovi estremi saranno $y_1 = ln x_1$ e $y_2 = ln x_2$
pertanto hai $y_1 = ln 2$ e $y_2 = ln M$
Mi sono perso in una banalità assurda, grazie mille!!
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