Espressione radicale

[FELICE15]

Salve a tutti,
l'espressionbe del tipo:
$ 1/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2))+1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))+1/(2-sqrt6-sqrt10+sqrt15) $
sviluppandola partendo da M.c.m ci si ritrova ad affrontare kilometri di numeri con inevitabili errori.
Partendo dal prodotto dei denominatori idem.
A vederla così mi era sembrata piuttosto semplice, ma quando ho cominciato a svilupparla non finivo mai di sviluppare prodotti.
C'è un metodo che riduce al minimo i passaggi?

[@melia]

"FELICE1":C'è un metodo che riduce al minimo i passaggi?

C'è, basta seguire le regole del minimo comun denominatore.
$ 1/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2))+1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))+1/(2-sqrt6-sqrt10+sqrt15) =$
scomponendo l'ultimo denominatore e raccogliendo il segno meno dal secondo fattore del secondo denominatore si ottiene

$ 1/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2))-1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt5-sqrt3))+1/((sqrt5-sqrt2)(sqrt3-sqrt2)) =$
adesso calcolo il denominatore comune che è $(sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2)(sqrt3-sqrt2)$

$=(sqrt3-sqrt2-sqrt5+sqrt2+sqrt5-sqrt3)/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2)(sqrt3-sqrt2))=0$

[chiaraotta1]

O anche, se si razionalizzano le frazioni, si ottiene
$1/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2))=$
$((sqrt5+sqrt3)(sqrt5+sqrt2))/((5-3)(5-2))=$
$(5+sqrt10+sqrt15+sqrt6)/6$

$1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))=$
$((sqrt3+sqrt2)(sqrt3+sqrt5))/((3-2)(3-5))=$
$(3+sqrt15+sqrt6+sqrt10)/(-2)=$
$(-3-sqrt15-sqrt6-sqrt10)/2$

$1/(2-sqrt6-sqrt10+sqrt15)=$
$1/(sqrt(2)(sqrt(2)-sqrt(3))-sqrt(5)(sqrt(2)-sqrt(3)))=$
$1/((sqrt(2)-sqrt(5))(sqrt(2)-sqrt(3)))=$
$((sqrt(2)+sqrt(5))(sqrt(2)+sqrt(3)))/((2-5)(2-3))=$
$(2+sqrt(6)+sqrt(10)+sqrt(15))/3$.

Per cui
$1/((sqrt5-sqrt3)(sqrt5-sqrt2))+1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))+1/(2-sqrt6-sqrt10+sqrt15)=$
$(5+sqrt10+sqrt15+sqrt6+3(-3-sqrt15-sqrt6-sqrt10)+2(2+sqrt(6)+sqrt(10)+sqrt(15)))/6=0$

[FELICE15]

Per @amelia
Dunque se ho ben capito scomponendo l'ultimo denominatore il risultato è:

$ ......+1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))+1/((sqrt2-sqrt3)(sqrt2-sqrt5)) $

ma dopo mi perdo per il "raccogliendo il segno meno dal secondo fattore del secondo denominatore si ottiene per il cambio di segno", mi fai vedere questi passaggi? Grazie

P.S.

Per chiaraotta
Ora è tutto chiaro, certo occorre sempre fare molta ma molta attenzione ai segni. Grazie

[@melia]

$(sqrt3-sqrt5)$ è anche uguale a $-(-sqrt3+sqrt5)= -(sqrt5-sqrt3)$ e anche $a*(-b)= -a*b$, spero che su queste cose non ci siano problemi, inoltre $1/(-a)=(-1)/a = - 1/a$, mettendo insieme le 3 proprietà:
$ +1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))=+1/((sqrt3-sqrt2)(-(sqrt3-sqrt5)))=$
$= +1/(-(sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt5))= -1/((sqrt3-sqrt2)(sqrt3-sqrt3))$

[FELICE15]

Chiarissimo, grazie