Espressione con numeri complessi

[satellitea30]

salve non riesco a risolvere questa espressione.

$(i(cos(π/20)+isin(π/20))^2)*bar[(2(cos(4π/5)+isin(4π/5))^2)$

allora io ho ragionato cosi ho trasformato la i iniziale in forma trigonometrica in modo che venga un prodotto tra un due numeri complessi cosi :

$((cos(π/2)+isin(π/2))*(cos(π/10)+isin(π/10))*bar[(2(cos(4π/5)+isin(4π/5))^2)$

poi ho effettuato il normale prodotto tra due numeri complessi:

$((cos(3π/5)+isin(3π/5))*bar[(2(cos(4π/5)+isin(4π/5))^2)$

ora ho sviluppato la seconda parte quella del coniugato:

$((cos(3π/5)+isin(3π/5))*bar[(4(cos(8π/5)+isin(8π/5))$

poi ho eseguito il coniugato cambiando di segno alla parte immaginaria

$((cos(3π/5)+isin(3π/5))*(4(cos(8π/5)-isin(8π/5))$

e alla fine ho sempre eseguito il prodotto

$(4(cos(11π/5)+isin(-π))$

$√(5)+1$ invece deve venire -4 ..... chissà dove ho fatto il danno

[@melia]

Credo ci sia un piccolo problema con le parentesi. Nella seconda parte anche il fattore 2 è dentro al quadrato, giusto?
Se la risposta è sì, allora

$(i(cos(π/20)+isin(π/20))^2)*bar[(2(cos(4π/5)+isin(4π/5)))^2]=$

$=(i(cos(π/10)+isin(π/10)))*4(cos(8π/5)-isin(8π/5))=$

$=4i(cos(π/10)+isin(π/10))*(cos(-8π/5)+isin(-8π/5))=$

$=4i(cos(-3π/2)+isin(-3π/2))=$

$=4i(0+i)= -4$

[satellitea30]

grazie mille @melia non mi è chiaro solo un passaggio , guardando il tuo svolgimento alla terza riga dei passaggi tu trasformi $(cos(8π5)−isin(8π5)$ in $(cos(-8π5)+isin(-8π5)$ non riesco a capire perchè si cambia segno a entrambe gli argomenti..... se il meno è solo davanti al seno ...

[axpgn]

Perché $cos(-alpha)=cos(alpha)$ e $sin(-alpha)=-sin(alpha)$

[satellitea30]

grazie ,si questa regola la sapevo , però non mi sarebbe mai venuto in mente di utilizzarla li anche perchè se vedete il mio svolgimento iniziale io l'ho applicata solo al seno perchè era l'unico dei due negativi. quindi ho notato che se applico il cambio di segno sull'ultimo passaggio del mio svolgimento viene anche a me ... bene grazie per le tempestive delucidazioni

[@melia]

Se vuoi risolvere una moltiplicazione con la regola della somma degli angoli, la parte reale e quella immaginaria devono essere rappresentate dallo stesso angolo.

[Studente Anonimo]

Giusto da dare al OP un modo differente di risolverlo, perché secondo me è importante vedere che si può affrontare lo stesso problema con approcci differenti.
Hai mai visto la seguente espressione per i numeri complessi \( r e^{ix} = r ( \cos x + i \sin x ) \) ? Nel tuo caso quindi diventa
\[ i (e^{ i \pi/20})^2 \cdot \overline{ (2 e^{ i 4 \pi /5})^2 } = i e^{ i \pi/10} \cdot 4 e^{\overline{ i 8 \pi /5 }} \]
\[ = i e^{ i \pi/10} \cdot 4 e^{-i 8 \pi /5 } = 4 i e^{ i \pi/10 - i 8 \pi / 5} = 4 i e^{ -i 3 \pi / 2} \]
\[ = 4i ( \cos( - 3\pi/2) + i \sin( -3 \pi/2) ) = 4i (0+i) =-4 \]

[@melia]

Hai ragione, anch’io per fare i calcoli avevo usato la forma esponenziale. Viene tutto più immediato.

[satellitea30]

grazie ancora a tutti