Espressione che mi sta facendo perdere la testa

[tylerino85]

buonasera a tutti! ho un problema con un espressione che non riesco a risolvere, ci ho provato diverse volte. Ho provato a risolverla tramite l'applicazione dei teoremi sui prodotti notevoli, ho provato a risolverla facendo le operazioni una alla volta, senza applicare i teoremi dei prodotti notevoli, ma il risultato è sempre diverso rispetto a quello che dovrebbe essere.

(a+b+c)^2 (a+b-c)^2 -[(a+b)^2 +c^2]^2 +4c^2(a+b)^2

Sarà semplice ma io non riesco. Le prime due parentesi sono sia un quadrato di un polinomio sia come il prodotto della somma di tre termini per la loro differenza.

Quale dovrei considerare dei due per primo?

voglio procedere per gradi perché sono convinto che l'errore è li...

però continuando:

[(a+b)^2 + c^2]^2

prima svolgo il quadrato del binomio e quindi:

[a^2 +b^2 +2ab -c^2]^2

svolgendo quest' ultimo calcolo vieni fuori una sfilza che non vi dico... sbaglio sicuramente, ma non capisco dove, le teorie son quelle..

[axpgn]

Premesso che non devi "risolvere" ma semplificare, il problema sta solo nella lunghezza dei calcoli, per cui ti perdi per strada

Se poni $d=a+b$ diventa più semplice da leggere $(d+c)^2(d-c)^2-(d^2+c^2)^2+4c^2d^2$ e proseguendo ...

$[(d+c)(d-c)]^2-[d^2+c^2]^2+4c^2d^2=[d^2-c^2]^2-[d^2+c^2]^2+4c^2d^2$

Ora un'altra piccola sostituzione cioè $C=c^2$ e $D=d^2$ e quindi

$[D-C]^2-[D+C]^2+4CD$

Sviluppando ... $D^2+C^2-2DC-D^2-C^2-2DC+4DC=0$

Fatto.

Cordialmente, Alex

[tylerino85]

Trovo tutto ciò bellissimo. Non sono ancora entrato però nell'ottica della semplificazione. Ho svolto quindi un altro esercizio simile.

$ (x+y+z)^2+(x+y-z)^2+(x-y+z)^2+(-x+y+z)^2-4(x^2+y^2+z^2) $

Qui non posso attribuire subito un valore unico a (x+y+z) perchè i segni son diversi e perchè nell'ultima parentesi le lettere risultano già al quadrato, quindi ho dovuto prima elevare le parentesi al quadrato, prendendo in esame la prima parentesi per esempio:

$ (x+y+z)^2 = ( x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz) $

e dopo porre (x^2+y^2+z^2) = B , ottenendo, sempre prendendo in esame la prima parentesi:

$ ( B+2xy+2xz+2yz ) $

e svolgere la semplificazione in maniera normale da qui in poi.

Potevo semplificare in altro modo?

[axpgn]

"tylerino85":Trovo tutto ciò bellissimo. ...

Esagerato!

Sicuramente si può semplificare in altro modo, non esiste un modo univoco, l'importante è arrivare al risultato, qualsiasi modalità va bene, usa quella con cui ti trovi più a tuo agio ...

Volendo fare qualcosa di simile a ieri sera, si può porre $a=x+y$ e $b=x-y$ e quindi $(a+z)^2+(a-z)^2+(z+b)^2+(z-b)^2-4(x^2+y^2+z^2)$
Dai primi due addendi si ricava immediatamente $2a^2+2z^2$ e dai secondi due addendi $2z^2+2b^2$.
Semplificando e risostituendo si ottiene $2[(x+y)^2+(x-y)^2]-4x^2-4y^2$ ed anche qui, come prima, dalla parentesi quadra si giunge a $4x^2+4y^2-4x^2-4y^2=0$

Cordialmente, Alex