Espressione analitica grafico iperbole equilatera

[Marco1985Mn]

Piccolo dubbio.
Dopo aver analizzato la seguente funzione il testo mi chiede, se possibile, di trovare l'espressione analitica della seguente funzione.




Al di fuori della generica $xy=k$ non saprei che altro scrivere. So solo che passa per il punto $(-1;0)$ e
il dominio è $R-{0}$; non è simmetrica.
Thanks

[ghira1]

Com'è diverso da $y=1/x$?

[Marco1985Mn]

"ghira":Com'è diverso da $y=1/x$?

questa è una funzione dispari, quindi simmetrica rispetto all'asse x. La mia non è simmetrica.
Il dominio è lo stesso ma questa funzione non passa per $(-1;0)$

[ghira1]

Paragona i due grafici.

[axpgn]

Spostala

[Marco1985Mn]

"ghira":Paragona i due grafici.

traslazione?

[Marco1985Mn]

"axpgn":Spostala

$y=1/x+1$??

[Mephlip]

"Marco1005":
questa è una funzione dispari, quindi simmetrica rispetto all'asse x

No, le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine.

[axpgn]

"Marco1005":[quote="axpgn"]Spostala

$y=1/x+1$??[/quote]

Quasi $y=k/x+1$

[Marco1985Mn]

"axpgn":[quote="Marco1005"][quote="axpgn"]Spostala

$y=1/x+1$??[/quote]

Quasi $y=k/x+1$[/quote]
k però è 1 giusto?

[axpgn]

No, $k$ è $k$

[@melia]

In questo caso, visto che l’asintoto orizzontale e $y=1$ e la curva passa per $(-1;0)$, allora sì, $k=1$.

[Marco1985Mn]

"axpgn":No, $k$ è $k$

io Alex ho preso spunto da ghira.
Se normalmente l'equazione dell'iperbole equilatera è $y=1/x$ e la mia deve passare per $(-1;1)$ allora l'equazione della traslata non può che essere $y=1/x+1$ così è verificato il passaggio per il punto.

[Marco1985Mn]

"Mephlip":[quote="Marco1005"]
questa è una funzione dispari, quindi simmetrica rispetto all'asse x

No, le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine.[/quote]
vero, errore mio

[Marco1985Mn]

"@melia":In questo caso, visto che l’asintoto orizzontale e $y=1$ e la curva passa per $(-1;0)$, allora sì, $k=1$.

c'è relazione tra asintoto orizzontale e k? io sono solo andato a logica con i numeri per far tornare il passaggio per il punto $(-1;0)$

[@melia]

No, non c'è relazione. L'equazione generale dell'iperbole traslata è $(x-a)(y-b)=k$ dove $a$ e $b$ sono gli asintoti.
Nel problema $a=0$ e $b=1$, quindi $x*(y-1)=k$ da cui $y-1=k/x$ e poi $y=1+k/x$ e adesso basta farla passare per $(-1;0)$

[axpgn]

"Marco1005":io Alex ho preso spunto da ghira.
Se normalmente l'equazione dell'iperbole equilatera è $y=1/x$ e la mia deve passare per $(-1;1)$ allora l'equazione della traslata non può che essere $y=1/x+1$ così è verificato il passaggio per il punto.

Quella generale è quella che ti hanno dato ovvero $xy=k$ non $xy=1$ che è una particolare.
Poi segui @melia che è meglio ...

[Mephlip]

Se lo studente conosce i limiti (e, almeno Marco1005 lo ha fatto, visto che ricordo alcune sue domande sui limiti), si possono usare anche quelli: è un'iperbole equilatera traslata in verticale, quindi ha equazione $y_k (x)=y_0+\frac{k}{x}$ con $y_0 \in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ fissati. Dal fatto che per ipotesi i limiti a $+\infty$ e $-\infty$ sono $1$, scegliendo ad arbitrio quello per $x\to+\infty$ si deduce:
$$1=\lim_{x \to +\infty} y_k (x)=\lim_{x \to +\infty} \left(y_0+\frac{k}{x}\right)$$
Ma per ogni $k\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ fissato è $\lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x}=0$, quindi da
$1=\lim_{x \to +\infty} \left(y_0+\frac{k}{x}\right)$ deduciamo $y_0=1$. Imponendo il passaggio per $(-1,0)$, si ottiene che $0=y_0-k=1-k$ e quindi $k=1$.

[Marco1985Mn]

"Mephlip":
$$1=\lim_{x \to +\infty} y_k (x)=\lim_{x \to +\infty} \left(y_0+\frac{k}{x}\right)$$
Ma per ogni $k\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ fissato è $\lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x}=0$, quindi da
$1=\lim_{x \to +\infty} \left(y_0+\frac{k}{x}\right)$ deduciamo $y_0=1$. Imponendo il passaggio per $(-1,0)$, si ottiene che $0=y_0-k=1-k$ e quindi $k=1$.

complicato ma bello