Esponenziali
Salve a tutti, ho un problema con gli esponenziali poichè mi sono stati spiegati ieri, e mi chiedevo se potevate darmi una mano perfavore:
il professore ha dato questa equazione:
y=$2^x$ ha detto di trovare le varie coordinate e di fare delle osservazioni, ora l'unica cosa che sono riuscito a capire è che questa figura(non so cosa sia) è asintottica rispetto all'asse x, quali altre osservazioni si possono fare?
il professore ha dato questa equazione:
y=$2^x$ ha detto di trovare le varie coordinate e di fare delle osservazioni, ora l'unica cosa che sono riuscito a capire è che questa figura(non so cosa sia) è asintottica rispetto all'asse x, quali altre osservazioni si possono fare?
Risposte
È sempre crescente ed è positiva.
potresti spiegarti meglio, e da cosa lo capisco? perchè dovrei farne altre
Dunque, vediamo un po' cosa possiamo dire. Anzitutto, come osservava @melia, la funzione $y=2^x$ è sempre positiva. Cosa significa ciò? Semplice: il suo grafico sta sempre "sopra" l'asse $x$. Detto un po' meglio, il grafico giace solo nel primo e nel secondo quadrante. Se ci pensi (e le hai già viste) la disequazione esponenziale $2^x>0$ è sempre vera (e lo puoi capire anche se non le hai ancora studiate: come potresti ottenere un numero negativo elevando $2>0$ ad un numero?)
Non interseca mai l'asse $x$: infatti, l'equazione $2^x=0$ (che dovresti risolvere per trovare punti di intersezione con l'asse delle ascisse) non ha soluzioni. Non solo, ma man mano che la $x$ "rimpicciolisce" la funzione si avvicina all'asse $x$, senza mai "toccarlo": questo si esprime dicendo che $2^x$ ha un comportamento asintotico rispetto a $x$.
Fin qui ci siamo?
Ancora qualche osservazione. Come tutte (e sottolineo l'aggettivo indefinito tutte) le funzione esponenziali, passa per il punto $P(0,1)$.
Inoltre, prendiamo ad esempio $x=2$. Allora $y=2^x=2^2=4$. E' logico che se prendi per $x$ un valore maggiore di $2$, allora anche la $y$ sarà più grande (infatti, ad esempio con $x=3$ trovi già $y=8>4$). Questo in termini matematici si esprime dicendo che la funzione è (sempre) crescente: cioè, $\forall x_1,x_2 in "Dom f : " x_1f(x_1)1$. Sottolineo questa ultima restrizione: $a>1$ affinchè la funzione sia crescente.
Ti invito a verificare che non è valido questo se la base è minore di $1$. Prova un po' a disegnare $y=(1/2)^x$.
Va un po' meglio? Chiarito un po' le idee? Spero di sì. Fammi sapere.
Non interseca mai l'asse $x$: infatti, l'equazione $2^x=0$ (che dovresti risolvere per trovare punti di intersezione con l'asse delle ascisse) non ha soluzioni. Non solo, ma man mano che la $x$ "rimpicciolisce" la funzione si avvicina all'asse $x$, senza mai "toccarlo": questo si esprime dicendo che $2^x$ ha un comportamento asintotico rispetto a $x$.
Fin qui ci siamo?
Ancora qualche osservazione. Come tutte (e sottolineo l'aggettivo indefinito tutte) le funzione esponenziali, passa per il punto $P(0,1)$.
Inoltre, prendiamo ad esempio $x=2$. Allora $y=2^x=2^2=4$. E' logico che se prendi per $x$ un valore maggiore di $2$, allora anche la $y$ sarà più grande (infatti, ad esempio con $x=3$ trovi già $y=8>4$). Questo in termini matematici si esprime dicendo che la funzione è (sempre) crescente: cioè, $\forall x_1,x_2 in "Dom f : " x_1
Ti invito a verificare che non è valido questo se la base è minore di $1$. Prova un po' a disegnare $y=(1/2)^x$.
Va un po' meglio? Chiarito un po' le idee? Spero di sì. Fammi sapere.
ho capito, però che vuol dire che per valori di x>0 cresce rapidamente e per valori di x<0 cresce lentamente?
ma mi è sorto un altro dubbio: l'equazione y=$-2^x$ è particolare vero? potresti spiegarmela?
perchè ho notato che si trova prima di tutto nel 1 e 4 quadrante, poi a numeri pari di x aumenta a numeri dispari diminuisce, e poi c'è il fatto dei valori che assume per x negativo pari e dispari, quindi nn so se è crescente o decrescente.Ecco potrtesti spiegarmi anche questa? grazie mille dell'aiuto
ma mi è sorto un altro dubbio: l'equazione y=$-2^x$ è particolare vero? potresti spiegarmela?
perchè ho notato che si trova prima di tutto nel 1 e 4 quadrante, poi a numeri pari di x aumenta a numeri dispari diminuisce, e poi c'è il fatto dei valori che assume per x negativo pari e dispari, quindi nn so se è crescente o decrescente.Ecco potrtesti spiegarmi anche questa? grazie mille dell'aiuto
"the world":
ho capito, però che vuol dire che per valori di x>0 cresce rapidamente e per valori di x<0 cresce lentamente?
Non ho mai scritto una roba del genere. Si vede che non ci siamo capiti. Che cosa non ti è chiaro? La funzione è crescente se la base è maggiore di uno (non l'esponente) e decrescente se la base è compresa tra $0$ e $1$.
"the world":
ma mi è sorto un altro dubbio: l'equazione y=$-2^x$ è particolare vero? potresti spiegarmela?
perchè ho notato che si trova prima di tutto nel 1 e 4 quadrante, poi a numeri pari di x aumenta a numeri dispari diminuisce, e poi c'è il fatto dei valori che assume per x negativo pari e dispari, quindi nn so se è crescente o decrescente.Ecco potrtesti spiegarmi anche questa? grazie mille dell'aiuto
Occhio, occhio. Stai parlando di $y=-2^x$ o di $y=(-2)^x$? Qui le parentesi hanno un ruolo chiave. La prima è una funzione, semplice da disegnare se uno ha capito gli esponenziali. La seconda non è una funzione, è una roba abbastanza brutta
...
entrambe
La prima, $y=-(2^x)$, non è altro che la simmetrica rispetto all'asse delle x della funzione $y=2^x$
La seconda; $y=(-2)^x$, non esiste come funzione a variabile reale perché una funzione esponenziale deve avere la base maggiore di 0, se la base è negativa l'esponente può assumere solo alcuni valori affinché l'eponenziale sia reale, negli altri casi risulterà complesso (non inteso nel senso di complicato, ma inteso nel senso di appartenente ai numeri complessi).
La seconda; $y=(-2)^x$, non esiste come funzione a variabile reale perché una funzione esponenziale deve avere la base maggiore di 0, se la base è negativa l'esponente può assumere solo alcuni valori affinché l'eponenziale sia reale, negli altri casi risulterà complesso (non inteso nel senso di complicato, ma inteso nel senso di appartenente ai numeri complessi).
ho capito, quindi la seconda non mi interessa per il momento. grazie mille
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