Esplicitare una funzione

[mmattiak]

Ragazzi devo esplicitare in y questa funzione: 2x^2+y^2-x-2y+6=0. Potete spiegarmi i passaggi?

[axpgn]

Beh, potresti trattarla come un'equazione di secondo grado in $y$ peccato che la soluzione, che è questa $y=1+-sqrt(-2x^2+x-5)$, non abbia nessuna soluzione reale ... (come d'altronde l'espressione originale) ...

[mmattiak]

Quello che non capisco è dove vada a finire quel -2y. Il passaggio potresti scrivermelo?

[Shocker1]

"mmattiak":Quello che non capisco è dove vada a finire quel -2y. Il passaggio potresti scrivermelo?

Ha utilizzato la formula ridotta.
Come ha ben detto axpgn per esplicitare la funzione basta vedere $2x^2+y^2-x-2y+6=0$ come un'equazione di secondo grado in $y$.
Dunque:
$2x^2+y^2-x-2y+6=0$
$y^2 - 2y + (2x^2 - 2x + 6) = 0$
Applicando la formula normale abbiamo:

$y_{1,2} = (2 +- sqrt( 4 - 4*1*(2x^2 - 2x + 6) ))/2 = (2 +- sqrt( 4(1 - (2x^2 - 2x + 6) )))/2$
portiamo fuori radice il $4$:
$y_{1,2} = (2 +- sqrt( 4(1 - (2x^2 - 2x + 6) )))/2 = (2 +- 2sqrt( 1 - (2x^2 - 2x + 6) ))/2 = 1 +-sqrt( 1 - (2x^2 - 2x + 6) )$

Applicando la formula ridotta[nota]data un'equazione di secondo grado $ay^2 + by + c = 0$, se $b$ è un numero pari(nel nostro caso $b = 2$) allora è possibile applicare tale formula: $y_{1, 2} = ( -b/2 +-sqrt( (b/2)^2 - a*c) )/a$[/nota] ti risparmi tutti questi passaggi, infatti hai:
$y_{1,2} = ((2/2) +- sqrt( (2/2)^2 - 1*(2x^2 - 2x + 6)))/1 = 1 +-sqrt( 1 - (2x^2 - 2x + 6) )$


Ciao

[Zero87]

"mmattiak":Quello che non capisco è dove vada a finire quel -2y. Il passaggio potresti scrivermelo?

L'ha "risolta" nella variabile $y$.

Tuttavia c'è un metodo molto simpatico che propongo e non scomoda la formula per le equazioni di secondo grado anche se non so se sia lo stesso usato da axpgn.

Tu hai
$2x^2+y^2-x-2y+6=0$
che puoi vedere come
$y^2-2y+(2x*2-x+6)=0$
cioè
$y^2-2y+1+(2x^2-x+5)=0$
dunque
$(y-1)^2=-2x^2+x-5$
e alla fine
$y-1=\pm \sqrt(-2x^2+x-5)$
da cui la soluzione di axpgn che si ottiene sommando $1$ membro a membro.

Facendo l'anteprima ho visto il post di Shocker - che saluto - che propone l'utilizzo della formula per le equazioni di secondo grado (ridotta, ma comunque quella).

[axpgn]

Equazione di secondo grado ...
La generica equazione di secondo grado è questa $at^2+bt+c=0$
Da questa $y^2-2y+2x^2-x+6=0$ quindi abbiamo che $a=1$, $b=-2$ e $c=2x^2-x+6$
Calcoliamo il delta $Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*(2x^2-x+6)=4-8x^2+4x-24=-8x^2+4x-20$
La soluzione dell'equazione di secondo grado è $y=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)$ e sostituendo $y=(-(-2)+-sqrt(-8x^2+4x-20))/(2*1)=(2+-sqrt(4(-2x^2+x-5)))/2=(2+-2sqrt(-2x^2+x-5))/2=$

$=1+sqrt(-2x^2+x-5)$

EDIT: son contento di essere arrivato tre

[Shocker1]

"Zero87":[...]

Facendo l'anteprima ho visto il post di Shocker - che saluto - che propone l'utilizzo della formula per le equazioni di secondo grado (ridotta, ma comunque quella).

Ciao Zero

Molto meglio la tua soluzione, complimenti .

Ciao

[mmattiak]

grazie mille ragazzi