Esistono infiniti numeri primi. dubbi circa dimostrazione.
Ciao a tutti,
ho il seguente teorema:
e la seguente dimostrazione:
Non mi sono chiare alcune cose e so che si tratterà di semplici stupidaggini...
allora considero numeri primi quali $2, -2, 3, -3, 5, -5$
perciò consideriamo il numero $a = 2*-2*3*-3*5*-5 + 1 = -899$ se non erro...
esiste un numero primo $q$ che divide $a$.
Qual è?
oppure ho sbagliato il procedimento nell'esempio?
se per favore potete aiutarmi (anche se si tratta di una cosa di una semplicità estrema) perchè altrimenti non riesco ad andare avanti nella dimostrazione.
grazie.
ho il seguente teorema:
Esistono infiniti numeri primi
e la seguente dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di numeri primi. Siano $p_1, p_2, ..., p_n$ tutti i numeri primi. Consideriamo il numero $a = p_1p_2...p_n + 1$. Per il teorema fondamentale dell'aritmetica $a$ è un prodotto di primi. In particolare esiste un numero primo $q$ che divide $a$. Ma $q$ è uno tra $p_1,p_2,...,p_n$ perchè questi erano tutti i numeri primi. Quindi $q$ divide anche $p_1p_2...p_n$, e pertanto $q$ divide $a - p_1p_2...p_n = 1$. Ma solo $1$ e $-1$ non sono primi. Questa contraddizione dimostra che esistono infiniti numeri primi.
Non mi sono chiare alcune cose e so che si tratterà di semplici stupidaggini...
allora considero numeri primi quali $2, -2, 3, -3, 5, -5$
perciò consideriamo il numero $a = 2*-2*3*-3*5*-5 + 1 = -899$ se non erro...
esiste un numero primo $q$ che divide $a$.
Qual è?
oppure ho sbagliato il procedimento nell'esempio?
se per favore potete aiutarmi (anche se si tratta di una cosa di una semplicità estrema) perchè altrimenti non riesco ad andare avanti nella dimostrazione.
grazie.
Risposte
se sbaglio corregetemi 
allora... il numero primo q che vuoi trovare e che divide a deve essere necessariamente uno di quei sei che hai scelto tu in quanto tu hai supposto (per assurdo) che ne esistessero solo sei e che fossero proprio quelli lì... poichè nessuno tra quelli da te "scelti" divide -899 allora si arriva all'assurdo... l'assurdo nasce dall'aver supposto che i numeri primi fossero finiti e soltanto quei sei.
spero di essere stata chiara(e corretta) nella spiegazione
allora... il numero primo q che vuoi trovare e che divide a deve essere necessariamente uno di quei sei che hai scelto tu in quanto tu hai supposto (per assurdo) che ne esistessero solo sei e che fossero proprio quelli lì... poichè nessuno tra quelli da te "scelti" divide -899 allora si arriva all'assurdo... l'assurdo nasce dall'aver supposto che i numeri primi fossero finiti e soltanto quei sei.
spero di essere stata chiara(e corretta) nella spiegazione
scusate ho saltato alcune cose nel teorema, ecco quello completo...
Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di numeri primi. Siano $p_1,p_2,...,p_n$ tutti i numeri primi. Consideriamo il numero $a=p_1p_2...p_n + 1$. Per il teorema fondamentale dell'aritmetica a è un prodotto di primi. In particolare esiste un numero primo $q$ che divide $a$. Ma $q$ è uno tra $p_1,p_2,...,p_n$ perchè questi erano tutti i numeri primi. Quindi $q$ divide anche $p_1p_2...p_n$, e pertanto $q$ divide $a-p_1p_2...p_n=1$. Ma solo $1$ e $-1$ dividono $1$, e quindi $q = 1$ oppure $q = -1$, e questo è assurdo perchè $1$ e $-1$ non sono primi. Questa contraddizione dimostra che esistono infiniti numeri primi.
si però dice che:
quello che tu hai detto mi è chiaro ma non riesco ad applicarlo alla dimostrazione...
perchè poi dice
è quell' "anche" che penso confermi il fatto che questo $q$ esiste....
Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di numeri primi. Siano $p_1,p_2,...,p_n$ tutti i numeri primi. Consideriamo il numero $a=p_1p_2...p_n + 1$. Per il teorema fondamentale dell'aritmetica a è un prodotto di primi. In particolare esiste un numero primo $q$ che divide $a$. Ma $q$ è uno tra $p_1,p_2,...,p_n$ perchè questi erano tutti i numeri primi. Quindi $q$ divide anche $p_1p_2...p_n$, e pertanto $q$ divide $a-p_1p_2...p_n=1$. Ma solo $1$ e $-1$ dividono $1$, e quindi $q = 1$ oppure $q = -1$, e questo è assurdo perchè $1$ e $-1$ non sono primi. Questa contraddizione dimostra che esistono infiniti numeri primi.
si però dice che:
esiste un numero primo $q$ che divide $a$
quello che tu hai detto mi è chiaro ma non riesco ad applicarlo alla dimostrazione...
perchè poi dice
Quindi $q$ divide anche $p_1p_2...p_n$,
è quell' "anche" che penso confermi il fatto che questo $q$ esiste....
Vedila così: per il TFA $a=p_{1}p_{2}p{3}\cdots p_{n} + 1$ è un prodotto di numeri primi, in particolare ne esiste uno, diciamo $q$$ che entra nella fattorizzazione di $a$, i.e. $q|a$. I numeri primi $p_{1}, p_{2}, p_{3}, ldots, p_{n}$ non dividono $a$, dal momento che non dividono l'unità, quindi $q$ non sta tra $p_{1}, p_{2}, p_{3}, ldots, p_{n}$: ma questo è assurdo, poiché $p_{1}, p_{2}, p_{3}, ldots, p_{n}$ erano gli unici primi esistenti.
"lapoalberto77":
Quindi $q$ divide anche $p_1p_2...p_n$,
è quell' "anche" che penso confermi il fatto che questo $q$ esiste....
Tu stai supponendo per assurdo che $p_1, ..., p_n$ siano TUTTI i primi, quindi tra loro deve trovarsi anche $q$.
E da questo segue che $q$ divide il prodotto.
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