Esistenza estremo superiore
Ciao, volevo chiedervi se l'esistenza dell'estremo superiore per sottoinsiemi di R superiormente limitati è un assioma o un teorema.
Perché da qui non riesco a capire (cito paro-paro da libri diversi):
1) "Si dimostra poi che: ogni insieme A di numeri reali limitato superiormente è dotato di estremo superiore" (teorema di esistenza dell'estremo superiore)
2) "Se un insieme A di numeri reali è superiormente limitato, allora A ha un minimo confine superiore, ossia esiste supA" (assioma del minimo confine superiore)
3) " 'Se E è un insieme di R limitato superioremente, esiste il minimo dei maggioranti'. E adesso viene il difficile: ci 'sembra', dopo aver fatto molti esempi, che le due affermazioni precedenti siano vere; adesso è necessario dimostrare che sono vere. Ed invece...
Assioma 6.8 [Tiè'!, ndr] Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente, allora esiste il minimo dei maggioranti"
P.S. Ah... una precisazione, perché mi spiacerebbe farvi perdere tempo: da un post precedente ho capito che queste faccende hanno risvolti complicati, che ora non ho i mezzi per comprendere: quindi, nel caso aveste voglia di aiutarmi con questo dubbio, mi basterebbe sapere, appunto, se si tratta di un teorema o di un assioma e quali sono le differenze tra le 3 affermazioni...
Grazie infinite (giusto che siamo in tema!)
Perché da qui non riesco a capire (cito paro-paro da libri diversi):
1) "Si dimostra poi che: ogni insieme A di numeri reali limitato superiormente è dotato di estremo superiore" (teorema di esistenza dell'estremo superiore)
2) "Se un insieme A di numeri reali è superiormente limitato, allora A ha un minimo confine superiore, ossia esiste supA" (assioma del minimo confine superiore)
3) " 'Se E è un insieme di R limitato superioremente, esiste il minimo dei maggioranti'. E adesso viene il difficile: ci 'sembra', dopo aver fatto molti esempi, che le due affermazioni precedenti siano vere; adesso è necessario dimostrare che sono vere. Ed invece...
Assioma 6.8 [Tiè'!, ndr] Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente, allora esiste il minimo dei maggioranti"
P.S. Ah... una precisazione, perché mi spiacerebbe farvi perdere tempo: da un post precedente ho capito che queste faccende hanno risvolti complicati, che ora non ho i mezzi per comprendere: quindi, nel caso aveste voglia di aiutarmi con questo dubbio, mi basterebbe sapere, appunto, se si tratta di un teorema o di un assioma e quali sono le differenze tra le 3 affermazioni...
Grazie infinite (giusto che siamo in tema!)
Risposte
P.S. Bello che pochi giorni fa ho postato una domanda quasi identica, e manco me ne ero accorta! Solo che lì chiedevo per funzioni continue e limitate in un intervallo chiuso... Seneca, Yellow e Omar mi hanno spiegato che esiste un teorema che assicura l'esistenza dell'estremo superiore... forse si tratta della stessa cosa? Ora sì che sono in alto mare ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Scusami nell'altro topic avevamo fatto un casino soprattutto per colpa mia! Però la questione era diversa, si parlava dell'immagine di un intervallo attraverso una funzione continua.
Qui non c'è nessuna funzione, si parla solo di un insieme di reali superiormente limitato. 1), 2), 3) e Assioma 6.8 mi sembra dicano esattamente la stessa cosa. Il fatto è che si può prendere come assioma oppure si può prendere come assioma un altro enunciato matematicamente equivalente (nel senso che si implicano a vicenda) e dimostrare questa proprietà a partire da esso (trasformandolo in un teorema).
Ad esempio "Assioma di completezza: Siano A e B due insiemi di numeri reali con la proprietà che a ≤ b per ogni a appartenente ad A e b appartenente a B. Allora, esiste almeno un numero reale c con la proprietà che a ≤ c ≤ b per ogni elemento a in A e b in B." (da Wikipedia) è in questo senso equivalente all'assioma dell'estremo superiore.
In realtà, a voler andare davvero oltre e sperando di non dire cavolate, nessuno dei due è strettamente necessario come assioma. Nel senso che invece di definire i numeri reali in maniera assiomatica si possono costruire (i reali) in modo tale che rispettino queste proprietà. Però per evitare questo processo laborioso, che potrebbe partire addirittura dalle basi della logica o quantomeno dai numeri naturali, si preferisce spesso definire le proprietà dei reali attraverso degli assiomi.
Qui non c'è nessuna funzione, si parla solo di un insieme di reali superiormente limitato. 1), 2), 3) e Assioma 6.8 mi sembra dicano esattamente la stessa cosa. Il fatto è che si può prendere come assioma oppure si può prendere come assioma un altro enunciato matematicamente equivalente (nel senso che si implicano a vicenda) e dimostrare questa proprietà a partire da esso (trasformandolo in un teorema).
Ad esempio "Assioma di completezza: Siano A e B due insiemi di numeri reali con la proprietà che a ≤ b per ogni a appartenente ad A e b appartenente a B. Allora, esiste almeno un numero reale c con la proprietà che a ≤ c ≤ b per ogni elemento a in A e b in B." (da Wikipedia) è in questo senso equivalente all'assioma dell'estremo superiore.
In realtà, a voler andare davvero oltre e sperando di non dire cavolate, nessuno dei due è strettamente necessario come assioma. Nel senso che invece di definire i numeri reali in maniera assiomatica si possono costruire (i reali) in modo tale che rispettino queste proprietà. Però per evitare questo processo laborioso, che potrebbe partire addirittura dalle basi della logica o quantomeno dai numeri naturali, si preferisce spesso definire le proprietà dei reali attraverso degli assiomi.
1) , 2) , 3) dicono esattamente la stessa cosa.
Nel libro 1) prendono l'esistenza del superiore come un teorema. Nei libri 2) , 3) è presa come assioma.
Non c'è nessun risolvolto complicato.
Si può facilmente assiomatizzare $RR$ aggiungendo, agli assiomi che caratterizzano $QQ$, uno dei seguenti fatti:
Assioma di separazione (Dedekind): Dati $A , B subseteq RR$. Se $AA a in A$, $AA b in B$ si ha $a <= b$, allora $EE xi in RR$ tale che $a <= xi <= b $ , $AA a in A$ , $AA b in B$.
Lemma di Cantor: Sia $( [a_n , b_n ] )_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati e inscatolati (cioè ogni intervallo è contenuto nel precedente). Allora $nnn_n [a_n , b_n ]$ è non vuota.
Corollario (al lemma di Cantor): Sia $( [a_n , b_n ] )_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati. Allora $EE xi in RR$ tale che $nnn_n [a_n , b_n ] = { xi }$ è non vuota.
E il tuo Teorema di esistenza del superiore (che non riformulo).
Si dimostra, se non sbaglio, che questi quattro fatti sono perfettamente equivalenti e che, prendendo uno qualunque di essi come assioma, da esso si possono far derivare gli altri come teoremi/corollari/lemmi... Cioè:
Esistenza del superiore $hArr$ A. di Dedekind $hArr$ Lemma di Cantor $hArr$ Corollario.
Nel libro 1) prendono l'esistenza del superiore come un teorema. Nei libri 2) , 3) è presa come assioma.
Non c'è nessun risolvolto complicato.
Si può facilmente assiomatizzare $RR$ aggiungendo, agli assiomi che caratterizzano $QQ$, uno dei seguenti fatti:
Assioma di separazione (Dedekind): Dati $A , B subseteq RR$. Se $AA a in A$, $AA b in B$ si ha $a <= b$, allora $EE xi in RR$ tale che $a <= xi <= b $ , $AA a in A$ , $AA b in B$.
Lemma di Cantor: Sia $( [a_n , b_n ] )_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati e inscatolati (cioè ogni intervallo è contenuto nel precedente). Allora $nnn_n [a_n , b_n ]$ è non vuota.
Corollario (al lemma di Cantor): Sia $( [a_n , b_n ] )_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati. Allora $EE xi in RR$ tale che $nnn_n [a_n , b_n ] = { xi }$ è non vuota.
E il tuo Teorema di esistenza del superiore (che non riformulo).
Si dimostra, se non sbaglio, che questi quattro fatti sono perfettamente equivalenti e che, prendendo uno qualunque di essi come assioma, da esso si possono far derivare gli altri come teoremi/corollari/lemmi... Cioè:
Esistenza del superiore $hArr$ A. di Dedekind $hArr$ Lemma di Cantor $hArr$ Corollario.
Siete stati chiarissimi 
!
Yellow: quelle dispense sono bellissime, ora uso queste!
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Questa volta, in trattoria, offri tu... 
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