Esercizio/problema di probabilità (condizionata)
Buongiorno a tutti !
Ancora una volta mi rivolgo a voi per ricevere una mano su un esercizio di probabilità. Posto qui e non nella sezione probabilità e statistica universitaria in quanto si tratta di un esercizio di quarto liceo scientifico. Il testo è il seguente:
"Alex e Bob, appassionati di basket, gareggiano ai tiri liberi: alternandosi alla <>, vince il primo che a parità di tentativi segna un canestro in più dell'altro. Sapendo che Alex ha il 60% di probabilità di centrare il canestro, mentre Bob il 40%, qual è la probabilità che Alex vinca la sfida ?" Risultato [9/13]
Il calcolo combinatorio e la probabilità non sono il mio forte, lo ammetto
Io ho ragionato così: siano "A: Alex vince la sfida", "B: Alex centra il canestro" e "C: Bob centra il canestro", i tre eventi elementari; utilizzando la formula di disintegrazione si ha $P(A)=P(A|B)*P(B)+P(A|C)*P(C)$. Ora $P(B)=60%, P(C)=40%$. Tuttavia non saprei quantificare $P(A|B)$ e $P(A|C)$ cioè, rispettivamente, la probabilità che Alex vinca dato che ha segnato un canestro e la probabilità che Alex vinca dato che Bob ha segnato un canestro. Inizialmente pensavo che $P(A|B)=60%$ perché, se Alex segna un canestro, la probabilità che vinca è quella che Bob non segni durante il suo turno, cioè $100%-40%=60%$. Tuttavia, se così fosse, sapendo che il risultato deve venire 9/13, $P(A|C)=(P(A)-P(A|B)*P(B))/(P(C))=83%$, ben più alta della vittoria di Alex se a segnare fosse proprio Alex, il che è insensato, dovendo avere Alex una probabilità di vittoria minore se segna Bob.
Dopo averci riflettuto per più di un'ora mi sono arreso e ho deciso di rivolgermi a voi.
P.S. Il problema è situato nella sezione relativa alla formula di disintegrazione, quindi dovrebbe poter essere risolto al massimo con quella o con i teoremi base della probabilità (prodotto o somma logica di eventi), senza usare nemmeno Bayes.
Ringrazio sin da ora quanti sapranno chiarire i miei dubbi.
Un saluto
Ancora una volta mi rivolgo a voi per ricevere una mano su un esercizio di probabilità. Posto qui e non nella sezione probabilità e statistica universitaria in quanto si tratta di un esercizio di quarto liceo scientifico. Il testo è il seguente:
"Alex e Bob, appassionati di basket, gareggiano ai tiri liberi: alternandosi alla <
Il calcolo combinatorio e la probabilità non sono il mio forte, lo ammetto
Io ho ragionato così: siano "A: Alex vince la sfida", "B: Alex centra il canestro" e "C: Bob centra il canestro", i tre eventi elementari; utilizzando la formula di disintegrazione si ha $P(A)=P(A|B)*P(B)+P(A|C)*P(C)$. Ora $P(B)=60%, P(C)=40%$. Tuttavia non saprei quantificare $P(A|B)$ e $P(A|C)$ cioè, rispettivamente, la probabilità che Alex vinca dato che ha segnato un canestro e la probabilità che Alex vinca dato che Bob ha segnato un canestro. Inizialmente pensavo che $P(A|B)=60%$ perché, se Alex segna un canestro, la probabilità che vinca è quella che Bob non segni durante il suo turno, cioè $100%-40%=60%$. Tuttavia, se così fosse, sapendo che il risultato deve venire 9/13, $P(A|C)=(P(A)-P(A|B)*P(B))/(P(C))=83%$, ben più alta della vittoria di Alex se a segnare fosse proprio Alex, il che è insensato, dovendo avere Alex una probabilità di vittoria minore se segna Bob.
Dopo averci riflettuto per più di un'ora mi sono arreso e ho deciso di rivolgermi a voi.
P.S. Il problema è situato nella sezione relativa alla formula di disintegrazione, quindi dovrebbe poter essere risolto al massimo con quella o con i teoremi base della probabilità (prodotto o somma logica di eventi), senza usare nemmeno Bayes.
Ringrazio sin da ora quanti sapranno chiarire i miei dubbi.
Un saluto
Risposte
Da un punto di vista teorico non posso dirti nulla, dal lato pratico farei così ...
Ad ogni turno la probabilità di vittoria di Alex è $36%$ mentre quella di Bob è del $16%$.
Ora, che uno dei due vinca al primo turno o al centesimo, non fa differenza perché nel secondo caso significa che hanno sempre pareggiato nei turni precedenti.
Quindi la probabilità di vittoria di Alex è $36/52=9/13$
IMHO
Cordialmente, Alex
Ad ogni turno la probabilità di vittoria di Alex è $36%$ mentre quella di Bob è del $16%$.
Ora, che uno dei due vinca al primo turno o al centesimo, non fa differenza perché nel secondo caso significa che hanno sempre pareggiato nei turni precedenti.
Quindi la probabilità di vittoria di Alex è $36/52=9/13$
IMHO
Cordialmente, Alex
Il tuo ragionameno ha anche una giustificazione "teorica"....boh, forse sì....
Ad ogni modo la soluzione analitica è questa
$0.6*0.6sum_(x=1)^(oo)[0.6*0.4+0.4*0.6]^(x-1)=0.36*1/(1-0.48)=36/52=9/13$
si fanno vero le progressioni geometriche al liceo?
Ad ogni modo la soluzione analitica è questa
$0.6*0.6sum_(x=1)^(oo)[0.6*0.4+0.4*0.6]^(x-1)=0.36*1/(1-0.48)=36/52=9/13$
si fanno vero le progressioni geometriche al liceo?
Innanzitutto ringrazio entrambi @axpgn e @tommik per la celerità e le risposte. Tuttavia non mi è molto chiara questa formula
Purtroppo non ancora. Probabilmente più avanti.
Al momento mi occorrerebbe una soluzione più "terra terra" utilizzando la probabilità condizionata, dato anche che questo esercizio è posto proprio nel relativo paragrafo.
Sono comunque interessato a capire da dove vien fuori quella formula. Se potessi spiegarmelo te ne sarei grato. Il concetto di sommatoria lo conosco, tuttavia non capisco quell'esponente.
Per soluzione "terra terra" intendo una di questo genere:
Riporto l'esempio svolto posto appena prima del problema in oggetto, dato che, probabilmente, bisogna usare qualcosa del genere:
"Alex e Bob lanciano due dadi, in un gioco in cui vince chi per primo ottiene un doppio 6. Se Alex lancia per primo, qual è la probabilità che sia lui a vincere la sfida ?"
Sia A l'evento <> e B l'evento <>.
Per il teorema di disintegrazione possiamo scrivere la seguente relazione:
$P(A)=P(A|B)*P(B)+P(A|bar(B))*P(bar(B))$
Poniamo ora P(A)=x (la probabilità che ci interessa calcolare) e osserviamo che:
ovviamente $P(A|B)=1, P(B)=1/36, P(bar(B))=1-1/36=35/36$;
$P(A|bar(B))$, dal momento che stiamo assumendo che il doppio 6 non esca nel primo lancio, equivale alla probabilità di vittoria di Alex in un gioco in cui sia Bob ad iniziare per primo, ed è perciò uguale a 1-x (infatti, se Bob inizia per primo, si trova nella identica situazione di Alex, quindi la sua probabilità di vittoria è x, mentre quella di sconfitta, ovvero di vittoria di Alex, è 1-x)
Dunque abbiamo $x=1*1/36+(1-x)*35/36$
che risolta fornisce $x=36/71$.
Risulta $36/71>50%$: il fatto che Alex inizi per primo, come è intuitivo aspettarsi, lo rende favorito.
"tommik":
Ad ogni modo la soluzione analitica è questa
$ 0.6*0.6sum_(x=1)^(oo)[0.6*0.4+0.4*0.6]^(x-1)=0.36*1/(1-0.48)=36/52=9/13 $
si fanno vero le progressioni geometriche al liceo?
Purtroppo non ancora. Probabilmente più avanti.
Al momento mi occorrerebbe una soluzione più "terra terra" utilizzando la probabilità condizionata, dato anche che questo esercizio è posto proprio nel relativo paragrafo.
Sono comunque interessato a capire da dove vien fuori quella formula. Se potessi spiegarmelo te ne sarei grato. Il concetto di sommatoria lo conosco, tuttavia non capisco quell'esponente.
Per soluzione "terra terra" intendo una di questo genere:
Riporto l'esempio svolto posto appena prima del problema in oggetto, dato che, probabilmente, bisogna usare qualcosa del genere:
"Alex e Bob lanciano due dadi, in un gioco in cui vince chi per primo ottiene un doppio 6. Se Alex lancia per primo, qual è la probabilità che sia lui a vincere la sfida ?"
Sia A l'evento <
Per il teorema di disintegrazione possiamo scrivere la seguente relazione:
$P(A)=P(A|B)*P(B)+P(A|bar(B))*P(bar(B))$
Poniamo ora P(A)=x (la probabilità che ci interessa calcolare) e osserviamo che:
ovviamente $P(A|B)=1, P(B)=1/36, P(bar(B))=1-1/36=35/36$;
$P(A|bar(B))$, dal momento che stiamo assumendo che il doppio 6 non esca nel primo lancio, equivale alla probabilità di vittoria di Alex in un gioco in cui sia Bob ad iniziare per primo, ed è perciò uguale a 1-x (infatti, se Bob inizia per primo, si trova nella identica situazione di Alex, quindi la sua probabilità di vittoria è x, mentre quella di sconfitta, ovvero di vittoria di Alex, è 1-x)
Dunque abbiamo $x=1*1/36+(1-x)*35/36$
che risolta fornisce $x=36/71$.
Risulta $36/71>50%$: il fatto che Alex inizi per primo, come è intuitivo aspettarsi, lo rende favorito.
guarda bene la formula che ti ho scritto perché è molto intuitiva: ad ogni mano la probabilità di pareggio è $0.6xx0.4+0.4xx0.6=0.48$ quindi la probabilità di vincita all'n-esimo turno è la probabilità che alex vinca mentre l'altro perda: $0.6xx0.6$ moltiplicata per la probabilità di pareggio fino alla mano precedente....ovviamente devi usare il teorema delle probabilità totali....quindi fai la somma[nota]potrebbero anche pareggiare per le prime 1.584.383 mani ed alex vincere alla 1.584.384-esima[/nota]: $0.36sum_(x=1)^(oo)0.48^(x-1)$
Che significa:
probabiltà di vincita al primo turno $0.36$
probabiltà di vincita al secondo turno $0.36xx0.48$
probabiltà di vincita al terzo turno $0.36xx0.48^2$
ecc ecc
sommi tutto e trovi il risultato (devi usare la somma delle progressioni geometriche che si fa alle medie; alle superiori si chiama Serie Geometrica ma è sempre la stessa roba....).
saluti
Che significa:
probabiltà di vincita al primo turno $0.36$
probabiltà di vincita al secondo turno $0.36xx0.48$
probabiltà di vincita al terzo turno $0.36xx0.48^2$
ecc ecc
sommi tutto e trovi il risultato (devi usare la somma delle progressioni geometriche che si fa alle medie; alle superiori si chiama Serie Geometrica ma è sempre la stessa roba....).
saluti
La "teoria" che sta dietro al mio ragionamento è tutta lì 
Ovvero, siccome non è stato fissato un numero preciso di turni, quello che conta è solo l'ultimo, quello vincente per uno dei due, tutti quelli precedenti non contano niente, sono interlocutori.
Cordialmente, Alex
Ovvero, siccome non è stato fissato un numero preciso di turni, quello che conta è solo l'ultimo, quello vincente per uno dei due, tutti quelli precedenti non contano niente, sono interlocutori.
Cordialmente, Alex
sì è vero, sei troppo avanti per me...[ot]comunque gli ho scritto anche la soluzione passo-passo ma pare che non gli vada bene nemmeno quella.....forse facevo meglio a non intervenire[/ot]
"tommik":
… sì è vero, sei troppo avanti per me...
Non si prende in giro la gente così, cattivone ... 
[ot]Credo che sul suo libro e per quello che sono i loro obiettivi, quello che hai scritto sia fuori dal loro "target" … IMHO
Anche dal mio, a dir la verità
[/ot]
"tommik":
[quote="BayMax"] il fatto che Alex inizi per primo, come è intuitivo aspettarsi, lo rende favorito.
fanno entrami lo stesso numero di tiri, cosa c'entra chi inizia prima e chi dopo; oltretutto nella traccia mica è specificato chi inizia prima....
[/quote]
L'essere favorito si riferiva all'altro problema
, quello dell'esempio, dei dadi. E' ovvio che nel problema dei tiri liberi siano ugualmente favoriti ."tommik":
[ot]comunque gli ho scritto anche la soluzione passo-passo ma pare che non gli vada bene nemmeno quella.....forse facevo meglio a non intervenire[/ot]
No no. Hai fatto benissimo a rispondere, anzi... mi sei stato di grande aiuto ed apprezzo tantissimo le risposte sia tua che di axpgn, [ot]come credo vadano rispettate in generale tutte le risposte date, l'impegno profuso nel darle ed il tempo per fare ciò[/ot].
Ora mi sono più chiari i vostri ragionamenti (che poi si traducono nel medesimo). Tuttavia resta il dubbio che debba usare la formula della probabilità condizionata
.Grazie mille per le risposte ! E scusate se vi ho rubato del tempo.
P.S. Lo so, sono di coccio, ma vi avevo avvisato nel topic che la probabilità non è il mio forte
@alex: troppo complicato? no dai, mi sembra di averlo spiegato anche in prosa....una volta capito che la probabilità di pareggio è pari a $0.48$ non rimane che valutare la serie di infiniti termini:
$0.36+0.36xx0.48+0.36xx0.48^2+0.36xx0.48^3+....=0.36[1+0.48+0.48^2+0.48^3+....]$
@baymax....me ne sono accorto da solo che la tua affermazione si riferiva ad un altro esempio (infatti avevo già modificato il mio intervento)...putroppo lavoro e leggo tutto molto di sfuggita....sorry
$0.36+0.36xx0.48+0.36xx0.48^2+0.36xx0.48^3+....=0.36[1+0.48+0.48^2+0.48^3+....]$
@baymax....me ne sono accorto da solo che la tua affermazione si riferiva ad un altro esempio (infatti avevo già modificato il mio intervento)...putroppo lavoro e leggo tutto molto di sfuggita....sorry
Domanda cattiva: il fatto che io abbia bellamente ignorato (più o meno volutamente) i "pareggi" perché "intuitivamente" ritenuti (da me, ovviamente 
) interlocutori e non significativi epperò arrivando allo stesso risultato, pensi sia frutto solo di "una fortunata coincidenza" ?
Cordialmente, Alex
P.S.: "troppo complicato?" MI riferivo alla prima formula, alla prima impostazione che hai fornito ... al primo impatto, probabilmente, per uno studente delle superiori non sembra così semplice ...
) interlocutori e non significativi epperò arrivando allo stesso risultato, pensi sia frutto solo di "una fortunata coincidenza" ? Cordialmente, Alex
P.S.: "troppo complicato?" MI riferivo alla prima formula, alla prima impostazione che hai fornito ... al primo impatto, probabilmente, per uno studente delle superiori non sembra così semplice ...
è proprio la stessa cosa. Solo che io ci sono arrivato con un po' di passaggi...tu hai intuito subito il risultato[nota]per quello ho detto che sei troppo avanti...non stavo scherzando[/nota]
$0.36+0.16=mathbb{P}(A)mathbb{P}(bar(B))+mathbb{P}(bar(A))mathbb{P}(B)=1-[mathbb{P}(A)mathbb{P}(B)+mathbb{P}(bar(A))mathbb{P}(bar(B))]=1-0.48$
alex: $(0.36)/(0.36+0.16)$
tommy: $(0.36)/(1-0.48)$
...abbiamo pareggiato.
$0.36+0.16=mathbb{P}(A)mathbb{P}(bar(B))+mathbb{P}(bar(A))mathbb{P}(B)=1-[mathbb{P}(A)mathbb{P}(B)+mathbb{P}(bar(A))mathbb{P}(bar(B))]=1-0.48$
alex: $(0.36)/(0.36+0.16)$
tommy: $(0.36)/(1-0.48)$
...abbiamo pareggiato.
"tommik":
...abbiamo pareggiato.
A titolo informativo riporto il procedimento con il teorema di disintegrazione e la probabilità condizionata che cercavo:
$P(A)=P(A|BnnC)*P(BnnC)+P(A|bar(B)nnbar(C))*P(bar(B)nnbar(C))+P(A|bar(B)nnC)*P(bar(B)nnC)+P(A|Bnnbar(C))*P(Bnnbar(C))$ essendo $P(A|BnnC)= P(A|bar(B)nnbar(C))=P(A)=x$ essendo la probabilità che Alex vinca pari a quella che vinca se entrambi non segnano o segnano in quanto, in questi due casi, è come se la sfida dovesse ancora cominciare. Pertanto si ha:
$x=x*0.6*0.4+x*0.4*0.6+0*0.4*0.6+1*0.6*0.6rarrx=0.48x+0.36rarrx=0.36/0.52=9/13$
$P(A)=P(A|BnnC)*P(BnnC)+P(A|bar(B)nnbar(C))*P(bar(B)nnbar(C))+P(A|bar(B)nnC)*P(bar(B)nnC)+P(A|Bnnbar(C))*P(Bnnbar(C))$ essendo $P(A|BnnC)= P(A|bar(B)nnbar(C))=P(A)=x$ essendo la probabilità che Alex vinca pari a quella che vinca se entrambi non segnano o segnano in quanto, in questi due casi, è come se la sfida dovesse ancora cominciare. Pertanto si ha:
$x=x*0.6*0.4+x*0.4*0.6+0*0.4*0.6+1*0.6*0.6rarrx=0.48x+0.36rarrx=0.36/0.52=9/13$
E io che avevo detto a tommik che il suo era un po' complicato per te
Ha ragione tommik (come sempre)
Cordialmente, Alex
Ha ragione tommik (come sempre)
Cordialmente, Alex
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