Esercizio teorema di Lagrange
Data la funzione $f(x) = (x+2)/(2-x)$, utilizzando il teorema di Lagrange deduci per quali intervalli $[a;b] in ]0;4[$ è vera la disuguaglianza: $f(b) - f(a) > b - a$.
Il fatto che $]0;4[$ sia un intervallo aperto già mi mette in difficoltà: le ipotesi del teorema di Lagrange sono relative a un intervallo chiuso. Peraltro anche se l'intervallo fosse chiuso sarei ugualmente in difficoltà: per $x=2$ la funzione non è continua, quindi non posso neanche considerare l'intervallo $[0;2]$.
Inoltre noto che la derivata è sempre positiva, ma questo non mi aiuta a risolvere il problema.
Il fatto che $]0;4[$ sia un intervallo aperto già mi mette in difficoltà: le ipotesi del teorema di Lagrange sono relative a un intervallo chiuso. Peraltro anche se l'intervallo fosse chiuso sarei ugualmente in difficoltà: per $x=2$ la funzione non è continua, quindi non posso neanche considerare l'intervallo $[0;2]$.
Inoltre noto che la derivata è sempre positiva, ma questo non mi aiuta a risolvere il problema.
Risposte
"HowardRoark":
le ipotesi del teorema di Lagrange sono relative a un intervallo chiuso
Non è del tutto vero: l'ipotesi della derivabilità è richiesta solo nell'intervallo aperto e per la continuità basta che in $a$ ci sia a destra ed in $b$ a sinistra.
Il fatto che in $x=2$ la funzione non sia continua significa solo che gli intervalli da considerare devono escludere questo valore e quindi devono essere interamente alla sua destra o alla sua sinistra. A priori, è possibile che la $f(b) - f(a) > b - a$ sia verificata anche in intervalli comprendenti $x=2$ (anche se forse in questo caso non succede) perché la tesi del teorema di Lagrange può valere anche se non valgono le ipotesi.
Quanto al resto, devo pensarci perché nel teorema c'è l'uguale e qui c'è il maggiore. La visualizzazione geometrica mi dice che la cosa non ha importanza, ma è meglio rifletterci.
Ho capito...
"giammaria":
Quanto al resto, devo pensarci perché nel teorema c'è l'uguale e qui c'è il maggiore. La visualizzazione geometrica mi dice che la cosa non ha importanza, ma è meglio rifletterci.
Beh questo perché il teorema di Lagrange afferma che data una funzione \(f\) definita su \( [a,b] \), con \( a,b \) reali e derivabile in \( (a,b) \) allora esiste almeno un \( c \in (a,b) \) tale che \( f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) \).
In questo caso c'è il maggiore stretto (e "manca" la derivata in \( f'(c) \) ), devi dunque trovare una condizione supplementare sulla derivata di \( f \) sull'intervallo \( (a,b) \) tale che ti renda vera \( f(b)-f(a) > (b-a) \).
"HowardRoark":
Il fatto che $ ]0;4[ $ sia un intervallo aperto già mi mette in difficoltà
Quello che stai cercando infatti sono tutti gli intervalli \( [a,b] \subset ]0,4[ \) tale che è verificata quella disuguaglianza.
Quindi lavori su un insieme chiuso e non su un aperto, l'importante come ti hanno spiegato sopra è che \( f \) sia derivabile in \( (a,b) \)
@ 3m0o
Ho notato in ritardo l'assenza di $f'(c)$; effettivamente si arriva alla soluzione ragionando su di esso. Non sto a spiegare come perché credo che ad HowardRoark non convenga soffermarsi ulteriormente su questo esercizio: ci sono molte altre cose da studiare.
Ho notato in ritardo l'assenza di $f'(c)$; effettivamente si arriva alla soluzione ragionando su di esso. Non sto a spiegare come perché credo che ad HowardRoark non convenga soffermarsi ulteriormente su questo esercizio: ci sono molte altre cose da studiare.
Prima di applicare Lagrange io semplicemente prima spiegherei cosa fa la funzione fra ]0,4[, poi userei quel vincolo che mi dice che la pendenza deve essere maggiore di 1, ovvero risolverei $f^{\prime}(x)>1$ e dimostrerei che è sempre vera per $0
Poi concluderei dicendo che negli intervalli [a,b] con $01$.
Ovvero la disuguaglianza è soddisfatta.
Poi concluderei dicendo che negli intervalli [a,b] con $01$.
Ovvero la disuguaglianza è soddisfatta.
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