Esercizio sulle equazioni della circonferenza ?
Scrivi l'equazione della circonferenza con il centro sulla retta y=-x-1 ed è tangente alle rette 4x-3y=0 e 4x+3y-18=0
Risposte
Ciao Vincenzo... hai idee in proposito? provi magari a fornire un inizio di tua soluzione?
di che cosa hai bisogno?
di che cosa hai bisogno?
"mazzarri":
Ciao Vincenzo... hai idee in proposito? provi magari a fornire un inizio di tua soluzione?
di che cosa hai bisogno?
Avevo pensato di risolverlo con la distanza punto-retta.
Ma non riesco ad impostarlo.
Si mi sembra corretto
scriviamo la equazione generica della circonferenza
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$
sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x-1$ quindi sarà $y_c=x_c-1$
Poi la distanza tra il centro e le altre due rette sarà uguale al raggio per cui avremo scrivendo le due rette così
$y=4/3 x$
$y=-4/3 x+18/3$
che ci porta ad avere le due distanze (entrambi raggi)
$d_1=r= (|x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|7x_c-21|)/5$
è tutto chiaro? hai capito perchè ho scritto così?
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-x_c-3|=|7x_c-21|$
questa equazione tra moduli la sai risolvere? Dovrebbe dare come soluzione
$x_c=4$
da cui ricaviamo
$y_c=3$
e $r=7/5$ da cui poi sostituisci e trovi sostituendo la equazione della circonferenza
Spero di non aver sbagliato conti...
Hai capito tutto o c'è qualcosa di poco chiaro?
ciao!
scriviamo la equazione generica della circonferenza
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$
sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x-1$ quindi sarà $y_c=x_c-1$
Poi la distanza tra il centro e le altre due rette sarà uguale al raggio per cui avremo scrivendo le due rette così
$y=4/3 x$
$y=-4/3 x+18/3$
che ci porta ad avere le due distanze (entrambi raggi)
$d_1=r= (|x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|7x_c-21|)/5$
è tutto chiaro? hai capito perchè ho scritto così?
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-x_c-3|=|7x_c-21|$
questa equazione tra moduli la sai risolvere? Dovrebbe dare come soluzione
$x_c=4$
da cui ricaviamo
$y_c=3$
e $r=7/5$ da cui poi sostituisci e trovi sostituendo la equazione della circonferenza
Spero di non aver sbagliato conti...
Hai capito tutto o c'è qualcosa di poco chiaro?ciao!
"mazzarri":
Si mi sembra corretto
scriviamo la equazione generica della circonferenza
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$
sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x-1$ quindi sarà $y_c=x_c-1$
Poi la distanza tra il centro e le altre due rette sarà uguale al raggio per cui avremo scrivendo le due rette così
$y=4/3 x$
$y=-4/3 x+18/3$
che ci porta ad avere le due distanze (entrambi raggi)
$d_1=r= (|x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|7x_c-21|)/5$
è tutto chiaro? hai capito perchè ho scritto così?
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-x_c-3|=|7x_c-21|$
questa equazione tra moduli la sai risolvere? Dovrebbe dare come soluzione
$x_c=4$
da cui ricaviamo
$y_c=3$
e $r=7/5$ da cui poi sostituisci e trovi sostituendo la equazione della circonferenza
Spero di non aver sbagliato conti...
ciao!
Il centro appartiene alla retta y=-x-1 e non y=x-1
Comunque il passaggio che non mi è chiaro è la distanza punto-retta. La formula è |ax + by + c |/RADQ( a2 + b2 ). Ad x e y che sono le coordinate del centro cosa devo sostituire ?
si, la mia vista non è più quella di una volta... c'era il segno meno ma mica l'ho visto...
io di solito con le rette lavoro in forma esplicita, la trovo più comoda... mi riporto cioè a
$y=mx+q$
e dato il punto $C(x_x, y_c)$ la distanza punto/retta è data da
$d=(|y_c-mx_c-q|)/(sqrt(1+m^2))$
correggendo prima avremo allora
$d_1=r= (|-x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-7x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|-x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|x_c-21|)/5$
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-7x_c-3|=|x_c-21|$
dovresti avere una soluzione
$x_c=-4$
$y_c=-5$
$r=5$
e se non vado erratyo mi corregga qualcuno se scrivo una castronata dovresti avere una seconda soluzione
$x_c=9/4$
$y_c=-13/4$
$r=15/4$
Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè
$ax+by+c=0$
allora ricorda che
$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$
ciao!
io di solito con le rette lavoro in forma esplicita, la trovo più comoda... mi riporto cioè a
$y=mx+q$
e dato il punto $C(x_x, y_c)$ la distanza punto/retta è data da
$d=(|y_c-mx_c-q|)/(sqrt(1+m^2))$
correggendo prima avremo allora
$d_1=r= (|-x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-7x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|-x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|x_c-21|)/5$
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-7x_c-3|=|x_c-21|$
dovresti avere una soluzione
$x_c=-4$
$y_c=-5$
$r=5$
e se non vado erratyo mi corregga qualcuno se scrivo una castronata dovresti avere una seconda soluzione
$x_c=9/4$
$y_c=-13/4$
$r=15/4$
Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè
$ax+by+c=0$
allora ricorda che
$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$
ciao!
"mazzarri":
si, la mia vista non è più quella di una volta... c'era il segno meno ma mica l'ho visto...
io di solito con le rette lavoro in forma esplicita, la trovo più comoda... mi riporto cioè a
$y=mx+q$
e dato il punto $C(x_x, y_c)$ la distanza punto/retta è data da
$d=(|y_c-mx_c-q|)/(sqrt(1+m^2))$
correggendo prima avremo allora
$d_1=r= (|-x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-7x_c-3|)/5$
$d_2=r= (|-x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|x_c-21|)/5$
eguagliamo le due equazioni e abbiamo
$|-7x_c-3|=|x_c-21|$
dovresti avere una soluzione
$x_c=-4$
$y_c=-5$
$r=5$
e se non vado erratyo mi corregga qualcuno se scrivo una castronata dovresti avere una seconda soluzione
$x_c=9/4$
$y_c=-13/4$
$r=15/4$
Siccome quella formula non l'abbiamo fatta, potresti svolgermi la distanza utilizzando la formula in forma implicita ?
Comunque il centro ha coordinate -4 e -5
Allora il risultato è corretto, bene mi conforta
Resta aperta la questione della seconda possibile soluzione... devo pensarci...
Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè
$ax+by+c=0$
allora ricorda che
$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$
prova adesso a usare tu questa formula sostituendo e posta i tuoi calcoli
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$
capito?
Resta aperta la questione della seconda possibile soluzione... devo pensarci...
Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè
$ax+by+c=0$
allora ricorda che
$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$
prova adesso a usare tu questa formula sostituendo e posta i tuoi calcoli
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$
capito?
"mazzarri":
Allora il risultato è corretto, bene mi conforta
Resta aperta la questione della seconda possibile soluzione... devo pensarci...
Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè
$ax+by+c=0$
allora ricorda che
$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$
prova adesso a usare tu questa formula sostituendo e posta i tuoi calcoli
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio
Avendo il punto C sotto forma di retta, non riesco a sostituire la x e la y. Puoi dirmi cosa devo scrivere al posto di x e al posto di y ?
avevo appena modificato non hai fatto in tempo a leggere tutto
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$
proviamo a farlo per la prima distanza punto/retta
$d1=r=(|ax_c+by_c+c|)/(sqrt(a^2+b^2)=$
$=(|4x_c-3y_c|)/5=$
$=(|4x_c-3(-x_c-1)|)/5=$
$=(|4x_c+3x_c+3|)/5=$
$=(|7x_c+3|)/5$
ok??
prova a farlo tu per la seconda retta poi eguagli le due distanze (perchè entrambe rappresentano lo stesso raggio) e ricavi $x_c$ come ti ho fatto nei miei precedenti post... poi ricavi in un attimo $y_c$ e $r$ e sostituendo nella eq generale della circonferenza la ricavi
ciao!
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$
proviamo a farlo per la prima distanza punto/retta
$d1=r=(|ax_c+by_c+c|)/(sqrt(a^2+b^2)=$
$=(|4x_c-3y_c|)/5=$
$=(|4x_c-3(-x_c-1)|)/5=$
$=(|4x_c+3x_c+3|)/5=$
$=(|7x_c+3|)/5$
ok??
prova a farlo tu per la seconda retta poi eguagli le due distanze (perchè entrambe rappresentano lo stesso raggio) e ricavi $x_c$ come ti ho fatto nei miei precedenti post... poi ricavi in un attimo $y_c$ e $r$ e sostituendo nella eq generale della circonferenza la ricavi
ciao!
"mazzarri":
avevo appena modificato non hai fatto in tempo a leggere tutto
tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$
proviamo a farlo per la prima distanza punto/retta
$d1=r=(|ax_c+by_c+c|)/(sqrt(a^2+b^2)=$
$=(|4x_c-3y_c|)/5=$
$=(|4x_c-3(-x_c-1)|)/5=$
$=(|4x_c+3x_c+3|)/5=$
$=(|7x_c+3|)/5$
ok??
prova a farlo tu per la seconda retta poi eguagli le due distanze (perchè entrambe rappresentano lo stesso raggio) e ricavi $x_c$ come ti ho fatto nei miei precedenti post... poi ricavi in un attimo $y_c$ e $r$ e sostituendo nella eq generale della circonferenza la ricavi
ciao!
Comunque il centro era ( -4 ; 3 ) e il risultato è : x2 + y2 + 8x - 6y = 0
Volevo sapere un'ultima cosa sempre risolvendolo in modo implicito x corrisponde sempre a xc anche negli altri casi ?
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