Esercizio sulla parabola!

[iregiro]

siano date le parabole y=2x^2-3x+1 x=-y^2+1 a) calcola le coordinate dei loro punti di intersezione b) detto P un punto sulla arco compreso tra a e b ( punti di intersezione ) determina P in modo che si abbia BP^2- AP^2=1/4 (p Deve stare sulla prima parabola) c) trova il punto q In modo che i segmenti ap e bq siano le basi di un trapezio e trovare l'area del trapezio stesso

[mc2]

Per prima cosa ti consiglio di fare il grafico!

Per calcolare i due punti di intersezione mettiamo a sistema le equazioni delle due parabole:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=2x^2-3x+1 \\
x=-y^2+1 \end{array}\right.
[/math]

[math]y=2(-y^2+1)^2-3(-y^2+1)+1[/math]

[math]2y^4-y^2-y=0[/math]

[math]y(2y^3-y-1)=0[/math]

Una soluzione e`

[math]y=0[/math]

a cui corrisponde

[math]x=1[/math]

, quindi uno dei due punti di intersezione e`

[math]A(1,0)[/math]

[math]2y^3-y-1=0[/math]

Un'altra soluzione e`

[math]y=1[/math]

(se hai fatto il grafico ti aiuta!)
e con la regola di Ruffini puoi scomporre il polinomio:

[math](y-1)(2y^2+2y+1)=0[/math]

Quindi

[math]y=1[/math]

a cui corrisponde

[math]x=0[/math]

e l'altra intersezione e`

[math]B(0,1)[/math]

L'equazione rimanente

[math]2y^2+2y+1=0[/math]

non ha soluzioni reali quindi A e B sono le uniche intersezioni delle parabole


Il punto P deve stare sulla prima parabola, quindi le sue coordinate sono

[math]P(p,2p^2-3p+1)[/math]

e deve essere

[math]0\le p\le 1[/math]

, affinche` P sia compreso sull'arco tra A e B

[math]BP^2=p^2+(2p^2-3p)^2[/math]

[math]AP^2=(p-1)^2+(2p^2-3p+1)^2[/math]

[math]BP^2-AP^2=\frac{1}{4}[/math]

[math]p^2+(2p^2-3p)^2-(p-1)^2-(2p^2-3p+1)^2=\frac{1}{4}[/math]

e con un po' di calcoli si trova

[math]16p^2-32p+9=0[/math]

che ha le due soluzioni:

[math]\left\{\begin{array}{ll}
p=1+\frac{\sqrt{7}}{4}~~~~~~~ & \mbox{non accettabile perche' > 1}\\
p=1-\frac{\sqrt{7}}{4} & \mbox{accettabile}
\end{array}\right.[/math]

L'ordinata di P e`

[math]2p^2-3p+1=\frac{7}{8}-\frac{\sqrt{7}}{4}[/math]

Il punto P richiesto e`

[math]\left(1-\frac{\sqrt{7}}{4},\frac{7}{8}-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)[/math]

Aggiunto 25 secondi più tardi:

La terza parte del problema non e` risolvibile, forse hai dimenticato qualcosa nel copiare il testo?

Dove sta il punto Q?

Il trapezio e` isoscele, rettangolo o altro ?

[iregiro]

Il trapezio non è specificato, e Q sta sulla seconda parabola