Esercizio sulla parabola (41301)

[elbarto1993]

Scrivere l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c tangente alle rette y=x+2 e y=-x+4 e passante per il punto P(0;2).

[BIT5]

La parabola passa per il punto P

[math] 2=a0^2+b0+c \to c=2 [/math]

Inoltre e' tangente alla retta y=x+2

Troviamo i punti di intersezione tra la parabola generica e la retta y=x+2

[math] x+2=ax^2+bx+2 \to ax^2+bx-x=0 \to x(ax+b-1)=0 [/math]

Un punto di intersezione con la retta sara' sempre di ascissa 0.

infatti nell'equazione di cui sopra, una soluzione sara' sempre x=0, a prescindere dai valori di a e di b.

Quindi anche l'altra soluzione dovra' essere zero, affinche' la retta sia tangente (e quindi abbia i due punti di intersezione con la parabola, coincidenti)

Quindi:

[math] x=\frac{-b+1}{a}=0 \to b=1 [/math]

Pertanto la parabola sara' del tipo

[math] y=ax^2+x+2 [/math]

A questo punto ripetiamo da capo e troviamo i punti di intersezione con l'altra retta

[math] -x+4=ax^2+x+2 \to ax^2+2x-2=0 [/math]

Troviamo il Delta, con la ridotta.

[math] \Delta= 1+2a [/math]

Se il delta e' maggiore di zero, due saranno le soluzioni che ricaveremo, e quindi due le ascisse dei punti di intersezione, e quindi i punti saraano 2 reali e distinti.

Ma se il delta e'=0, avremo due soluzioni coincidenti, quindi un solo punto di incontro tra retta e parabola, quindi la condizione di tangenza..

[math] 1+2a=0 \to a=- \frac12 [/math]

La parabola sara' dunque

[math]y=- \frac12 x^2+x+2 [/math]

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