Esercizio sulla parabola
Buona serata nell'esercizio in figura è corretto porre le seguenti condizioni?
1. Parabola passante per T $ a+b+c=-1 $
2. $ m=2ax_T+b $ ovvero $ 1=2a+b $
3. $ { ( y=ax^2+bx+c ),( y=x-2 ):} $ e imporre la condizione di tangenza $ Delta = 0 $. ?
Grazie mille
1. Parabola passante per T $ a+b+c=-1 $
2. $ m=2ax_T+b $ ovvero $ 1=2a+b $
3. $ { ( y=ax^2+bx+c ),( y=x-2 ):} $ e imporre la condizione di tangenza $ Delta = 0 $. ?
Grazie mille
Risposte
Si, ma nella seconda condizione del punto 3) la retta è $3x+y+2 = 0$
"ingres":
Si, ma nella seconda condizione del punto 3) la retta è $3x+y+2 = 0$
Non devo rispondere prima al primo quesito o è un quesito unico?
Se ti limiti alla prima parte, e quindi trovi la famiglia di parabole, la terza condizione che hai scritto non è sbagliata ma è sovrabbondante, perché è già inclusa nelle precedenti. Verifica tu stesso e prova a spiegare il perché.
"ingres":
Se ti limiti alla prima parte, e quindi trovi la famiglia di parabole, la terza condizione che hai scritto non è sbagliata ma è sovrabbondante, perché è già inclusa nelle precedenti. Verifica tu stesso e prova a spiegare il perché.
Il problema è che le incognite sono 3 e quindi mi servono 3 equazioni o no?
"ingres":
Se ti limiti alla prima parte, e quindi trovi la famiglia di parabole, la terza condizione che hai scritto non è sbagliata ma è sovrabbondante, perché è già inclusa nelle precedenti. Verifica tu stesso e prova a spiegare il perché.
Io avrei pensato a questa soluzione $ y = x-2+k(x-1)^2 $ perché ho l'ascissa del punto di tangenza e quindi ottengo il fascio di parabole...
Basta che utilizzi le prime 2 condizioni:
$a+b+c=-1$
$2a + b=1$
Ricavando ad esempio $a$, $b$ in funzione di $c$ ottieni:
$a = c+2$
$b = -2c-3$
e sostituendo nella formula generale si avrà
$y = (c+2) x^2 - (2c+3) x +c$
Questa è la famiglia di parabole cercata (o meglio una sua istanza in termini del parametro "c") e soddisfa in automatico alla terza condizione perchè con $y=x-2$ otteniamo
$(c+2)*(x-1)^2 = 0$
ed essendo $c ne -2$ (altrimenti la parabola degenera nella retta $y=x-2$) si ottiene
$(x-1)^2 = 0$ che ha ovviamente $Delta =0$
Il motivo consiste nel fatto che con la condizione 1) imponi che retta e parabola si incontrino nel punto (1,-1) che diventa comune ad entrambe e con la 2) che la tangente alla parabola abbia lo stesso coefficiente angolare della retta. Quindi la 3) non serve a nulla. Ed è giusto perchè se avessi determinato una precisa parabola non avresti potuto procedere con la seconda parte dell'esercizio.
NOTA: se inveci calcolavi $b, c$ in funzione di $a$ avresti ottenuto
$y= a(x-1)^2 + x-2$
ovvero nella stessa forma che pensavi di assumere, che posta a sistema con $y=x-2$ fornisce
$a(x-1)^2=0$ chiaramente di nuovo con $Delta =0$
$a+b+c=-1$
$2a + b=1$
Ricavando ad esempio $a$, $b$ in funzione di $c$ ottieni:
$a = c+2$
$b = -2c-3$
e sostituendo nella formula generale si avrà
$y = (c+2) x^2 - (2c+3) x +c$
Questa è la famiglia di parabole cercata (o meglio una sua istanza in termini del parametro "c") e soddisfa in automatico alla terza condizione perchè con $y=x-2$ otteniamo
$(c+2)*(x-1)^2 = 0$
ed essendo $c ne -2$ (altrimenti la parabola degenera nella retta $y=x-2$) si ottiene
$(x-1)^2 = 0$ che ha ovviamente $Delta =0$
Il motivo consiste nel fatto che con la condizione 1) imponi che retta e parabola si incontrino nel punto (1,-1) che diventa comune ad entrambe e con la 2) che la tangente alla parabola abbia lo stesso coefficiente angolare della retta. Quindi la 3) non serve a nulla. Ed è giusto perchè se avessi determinato una precisa parabola non avresti potuto procedere con la seconda parte dell'esercizio.
NOTA: se inveci calcolavi $b, c$ in funzione di $a$ avresti ottenuto
$y= a(x-1)^2 + x-2$
ovvero nella stessa forma che pensavi di assumere, che posta a sistema con $y=x-2$ fornisce
$a(x-1)^2=0$ chiaramente di nuovo con $Delta =0$
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