Esercizio sulla parabola

[Elena9612]

Potreste aiutarmi a risolvere questo problema?

Determinare l'equazione della parabola di vertice V(2,-3) e fuoco F(2, 1)

So che devo partire da:
V=-b\2a ; -(b^2-4ac)\2a

vorrei sapere il procedimento.
Grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Data la parabola di equazione

$y=ax^2+bx+c$ con $a!=0$

è noto che le coordinate del vertice $V$ e del fuoco $F$ sono date da

$V=(x_V,y_V)=(-b/(2a),-Delta/(4a))$

$F=(x_F,y_F)=(x_V,y_V+1/(4a))=(-b/(2a),(1-Delta)/(4a))$

con $Delta=b^2-4ac$.

Nel caso in questione, si parte dall'equazione generale

$y=ax^2+bx+c$ (con $a!=0$)

e si pone la seguente prima condizione:

$x_V=-b/(2a)=2 Rightarrow b=-4a$

Sostituendo nell'equazione della parabola, si ottiene:

$y=ax^2-4ax+c$

Siccome il punto $V$ deve appartenere alla parabola, basta richiedere che l'ultima equazione trovata risulti soddisfatta quando $x=x_V=2$ e $y=y_V=-3$:

$-3=a*2^2-4a*2+c=4a-8a+c=-4a+c Rightarrow c=4a-3$

Sostituendo nuovamente nell'equazione della parabola, si ottiene:

$y=ax^2-4ax+(4a-3)$

Ora, sapendo che vale

$y_F-y_V=1/(4a) Rightarrow 1-(-3)=1/(4a) Rightarrow 4=1/(4a) Rightarrow a=1/16!=0$

si ottiene, finalmente, l'equazione della parabola cercata:

$y=ax^2-4ax+(4a-3)=1/16x^2-4*1/16x+(4*1/16-3)$

cioè

$y=1/16x^2-1/4x-11/4$.

Saluti.

[donald_zeka]

Non è assolutamente vero che devi partire da quelle inutili formule. Trasla il vertice in $V(0;0)$, hai il fuoco in $F(0,4)$ e di conseguenza per definizione di parabola hai la diretttrice in $y=-4$. Considera la parabola generica $y=ax^2$, essa, per definizione di parabola dovrà passare per il punto $(8;4)$, da cui $4=a64$, $a=1/16$, operando la trslazione inversa ottieni: $y+3=1/16(x-2)^2$.

[donald_zeka]

Invece di sapere tutte quelle formule, basta che tu sappia che $y-y_v=a(x-x_v)^2$ è l'equazione generale di una parabola con vertice in $V(x_v, y_v)$

[Elena9612]

Grazie mille! Ho capito tutto tranne un passaggio.
Praticamente partendo dalla x del vertice abbiamo trovato b e lo abbiamo sostituito nell'equazione generale. Abbiamo sostituito le coordinate x e y nell'equazione e abbiamo trovato c. Ma come abbiamo trovato a?

[Sk_Anonymous]

Ciao, Elena96.

Per ricavare $a$ è stata risolta l'equazione

$y_F-y_V=1/(4a)$ (condizione sempre vera per le parabole con asse di simmetria verticale)

dove, nel nostro caso, si aveva $y_F=1$ e $y_V=-3$

A questo punto è solo questione di (pochi) conti.

Spero di aver meglio chiarito.

Saluti.

[Elena9612]

Vulplasir, perchè se traslo il vertice all'origine ho il fuoco inF( 0,4)?

Scusate ma ho cominciato oggi a studiare la parabola per la prima volta, forse mi è sfuggita qualche definizione o formula...

[Elena9612]

Seguendo il procedimento di Alessandro8 mi è più chiaro

[Sk_Anonymous]

"Elena96":Seguendo il procedimento di Alessandro8 mi è più chiaro

Ne sono lieto; comunque, quando sarai più "dentro" l'argomento, ti accorgerai che la strada che suggeriva Vulplasir è molto rapida ed efficace.

Ti ho suggerito il "mio" tipo di strategia perchè mi ero reso conto che eri, come si suol dire, "alle prime armi".

Saluti.

[donald_zeka]

In effetti il mio metodo richiede qualche dimestichezza in più con il piano cartesiano. Se il vertice da $y=-3$ passa a $y=0$, significa che è stato traslato in alto di $+3$, quindi anche il fuoco sarà traslato di $+3$, andando da $y=1$ a $y=4$. In pratica il trucco è di cambiare sistema di riferimento per rendere l'equazione da determinare con meno incognite, se infatti normalmente devi trovare $a$,$b$ e $c$ per avere una parabola, in questo modi devi trovare solo $a$, che in effetti è l'unico parametro che distingue una parabola da un'altra.

[@melia]

E applicare la definizione di parabola?
Noti fuoco e vertice si può calcolare immediatamente l'equazione della direttrice $y=y_V-(y_F-y_V)$ da cui $y= -7$ e poi basta applicare la definizione di parabola: un punto $P(x,y)$ appartiene alla parabola se la sua distanza dal fuoco è uguale a quella dalla direttrice:
$sqrt((x-2)^2+(y-1)^2) = |y+7|$ che diventa $(x-2)^2+(y-1)^2 = (y+7)^2$ due conti ed è fatta.