Esercizio sul Teorema di Rolle

dane.kissangel95
Ma salve ^_^ allora vi vorrei chiedere una conferma riguardo a un esercizio ,mi rendo conto, molto facile , perché inizialmente non riuscivo a capire perché il mio libro di testo mi avesse dato un unico risultato mentre a me ne risultavano due . Riflettendoci su , penso di aver trovato una risposta , ma non sono mai sicura delle mie belle pensate xD
Il testo chiedeva: stabilisci se il teorema di Rolle è applicabile alla seguente funzione nell'intervallo indicato. In caso di risposta negativa spiegane il motivo; in caso di risposta affermativa calcola le ascisse dei punti che verificano il teorema .
\(\ f(x)=x^3-3x \) in[-2,1]
E' continua e derivabile quindi passo a calcolarmi f(-2) e f(1) e ottengo in entrambi i casi -2 . Poi mi calcolo la derivata prima e devo porla uguale a 0 . Ora mi vengono due risultati , ovvero -1 e 1 , però è accettabile solo -1 . Perché?
Io ho pensato perché solo nel caso di x=-1 abbiamo una tangente completa , mentre per x=1 abbiamo solo la parte sinistra della tangente , quindi in sostanza sarebbe una semiretta . Potrebbe essere questo il motivo per cui solo x=-1 è accettabile , nonostante l'intervallo sia chiuso???
Ah poi come fate a vedere che la funzione è derivabile?

Risposte
chiaraotta1
I "punti che verificano il teorema" devono essere interni all'intervallo indicato. Quindi $1$ va scartato.
La funzione è un polinomio, che è derivabile ovunque.

minomic
"chiaraotta":
I "punti che verificano il teorema" devono essere interni all'intervallo indicato.

Ciao chiaraotta, ammetto che avevo il dubbio su questo punto, cioè non mi ricordavo se deve essere \[c\in\left(a,b\right)\] oppure \[c\in\left[a,b\right]\] Allora ho guardato in giro per il web: su Wikipedia l'intervallo è chiuso, mentre su altri siti è aperto. Il dubbio è ancora maggiore perché nell'esercizio postato da Lisea succede quello che si vede nell'immagine seguente:

cioè anche $-1$ risulta essere un punto stazionario.

In conclusione a me resta un po' di dubbio... Tu sei sicura che $c$ debba appartenere all'intervallo aperto?

PS. Un'ipotesi a favore della tua idea (che secondo me è giusta) è che la funzione debba essere derivabile nell'intervallo aperto, quindi agli estremi potrebbe anche non esserlo.

@melia
Ne sono certa io, proprio per il fatto che agli estremi non è richiesta la derivabilità.

minomic
"@melia":
Ne sono certa io, proprio per il fatto che agli estremi non è richiesta la derivabilità.

Molto bene, grazie!

@melia
Prego

dane.kissangel95
Scusate se controbatto e anche per la mia ignoranza ... Ma perché i punti devono essere necessariamente interni all'intervallo? Vorrei sapere il perché , non la regola generale. Poi non volevo sapere che un polinomio è sempre derivabile , voglio sapere proprio come fai a derivarlo , perché nella mia mente questo concetto è un po' diciamo nebuloso , visto che devo improvvisare le mie conoscenze di matematica da sola , visto che il mio professore non ne capisce molto a riguardo ; cioè usate qualche rapporto incrementale o cosa?

axpgn
Perché solo punti interni? In prima battuta perché lo dice il teorema :-D cioè non afferma niente riguardo agli estremi, quindi quello che accade lì non ci riguarda; secondariamente perché agli estremi non è prevista la derivabilità, quindi non puoi affermare che in quei punti la derivata sia uguale a zero (che in questo caso lo sia non è importante, il teorema deve valere sempre).
Perché un polinomio è derivabile? Perché partendo dall'aver definito la derivata di una funzione in un punto come il limite del rapporto incrementale della funzione in quel punto, tramite dimostrazioni successive, si è estesa la nozione di derivata della funzione in un intervallo e quindi, sempre per dimostrazioni successive, si sono definite alcune derivate fondamentali come la derivata di una costante, la derivata di una potenza intera, la derivata del prodotto di una costante per una potenza intera, la derivata della somma delle funzioni precedenti. Applicando queste "regole" si può dire che un polinomio è derivabile in tutto $R$.
Credo di non aver sciocchezze (o almeno spero ... ;-) )
Cordialmente, Alex

iH8u
"Lisea":
Scusate se controbatto e anche per la mia ignoranza ... Ma perché i punti devono essere necessariamente interni all'intervallo? Vorrei sapere il perché , non la regola generale.


Dal punto di vista geometrico, il Teorema di Rolle, dice che, se una funzione derivabile assume lo stesso valore negli estremi di un intervallo, allora almeno una delle rette tangenti al grafico è orizzontale.

Si usa raramente per via dell'ipotesi $f(a)=f(b)$, però è utile per dimostrare 'facilmente' il teorema del Valor Medio (oppure detto Lagrange).

giammaria2
"Lisea":
Scusate se controbatto e anche per la mia ignoranza ... Ma perché i punti devono essere necessariamente interni all'intervallo?

Aggiungo la mia risposta: semplicemente perché il teorema di Rolle afferma che c'è almeno un punto interno; non si pronuncia né su quanti sono né su cosa succede agli estremi. Lì possono esserci o no punti in cui la derivata si annulla ma il teorema non se ne interessa.

dane.kissangel95
Ma grazie mille a tutti ^____^ la risposta era molto più semplice di quella che mi sarei aspettata xD scusate la mia mente cerca sempre la via più contorta xD

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