Esercizio sui numeri complessi
Risolvere in C la seguente equazione
$(z^3+2i)(z^2-i)=0$
a me esce
$z=\pm(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$ $\vee$ $ z=i*2^(1/3)$ $\vee$ $z=-2^(1/3)*(\pm\sqrt{3}/2+1/2i)$
il libro invece mette queste soluzioni:
$z=(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$ $\vee$ $ z=-i*2^(1/3)$ $\vee$ $z=-2^(1/3)*(\pm\sqrt{3}/2+1/2i)$
mi sembrava un esercizio abbastanza facile:
con la legge dell'annullamento del prodotto ho scritto
$z^3+2i=0$ $\vee$ $(z^2-i)=0$
pertanto z poteva essere un delle radici terze di -2i o un delle radici di i (Che ho calcolato con il procedimento illustrato sul libro)
ho anche provato a sostituire le mie soluzioni nell'equazione iniziale ed usando le formule del quadrato di binomio (si possono usare con i numeri complessi
?), l'equazione era verificata.
$(z^3+2i)(z^2-i)=0$
a me esce
$z=\pm(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$ $\vee$ $ z=i*2^(1/3)$ $\vee$ $z=-2^(1/3)*(\pm\sqrt{3}/2+1/2i)$
il libro invece mette queste soluzioni:
$z=(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$ $\vee$ $ z=-i*2^(1/3)$ $\vee$ $z=-2^(1/3)*(\pm\sqrt{3}/2+1/2i)$
mi sembrava un esercizio abbastanza facile:
con la legge dell'annullamento del prodotto ho scritto
$z^3+2i=0$ $\vee$ $(z^2-i)=0$
pertanto z poteva essere un delle radici terze di -2i o un delle radici di i (Che ho calcolato con il procedimento illustrato sul libro)
ho anche provato a sostituire le mie soluzioni nell'equazione iniziale ed usando le formule del quadrato di binomio (si possono usare con i numeri complessi
?), l'equazione era verificata.
Risposte
Ciao! prima di tutto è strano perché le soluzioni dovrebbero essere 5... poi facendo i conti a mano e con wolfram, con i numeri mi trovo, ma non con i segni. Hai usato le formule di De Moivre o hai fatto in forma algebrica?
Si, si può usare il quadrato del binomio con i numeri complessi, stando attenti a trasformare $i^2=-1$. Per il resto, se sostutuendole nell'equazione si verifica il risultato, allora le soluzioni da te ottenute sono quelle giuste e quelle del libro sono necessariamente sbagliate.
"andar9896":
Ciao! prima di tutto è strano perché le soluzioni dovrebbero essere 5... poi facendo i conti a mano e con wolfram, con i numeri mi trovo, ma non con i segni.
Non ti trovi con le mie soluzioni o con quelle del libro
? Hai usato le formule di De Moivre o hai fatto in forma algebrica?
Intendi per la verifica?
Perché per il procedimento per trovare le soluzioni conosco solo una formula ricavata da quella di Moivré che riguarda il numero scritto in forma polare:
$[\rho (cos(\alpha +2k\pi )+isin(\alpha +2k\pi)]^(1/n)= \rho^(1/n)(cos(\alpha/n +2k\pi/n )+isin(\alpha/n +2k\pi/n))$
e devo dire che, provando a risolverla con wolframalpha sono rimasto parecchio sorpreso da come da i risultati (per esempio scrive meno radice quarta di meno 1) . Ci sono altri modi per calcolare la radice di un numero complesso?
Per la verifica ho semplicemente sostituito le soluzioni in forma algebrica nell'equazione
"Vulplasir":
Si, si può usare il quadrato del binomio con i numeri complessi, stando attenti a trasformare $i^2=-1$. Per il resto, se sostutuendole nell'equazione si verifica il risultato, allora le soluzioni da te ottenute sono quelle giuste e quelle del libro sono necessariamente sbagliate.
$z=(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$ dovrebbe essere soluzione di $(z^2-i)=0$, ma poiché z è al quadrato, non è soluzione anche il suo opposto $z=-(\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i)$?
poi sostituendo $ z=i*2^(1/3)$ a $z^3+2i=0$ si ottiene
$(i*2^(1/3))^3+2i=0$
$i^3*2+2i=0$
$i^2*i*2+2i=0$
$-i*2+2i=0$
Allora, mi sono lasciato ingannare dal modo in cui hai scritto le soluzioni 
sono giuste e lo conferma anche wolfram le cui soluzioni sono:
$(sqrt2/2+isqrt2/2)$
$(-sqrt2/2-isqrt2/2)$
$2^(1/3)i$
$2^(1/3)(sqrt3/2-i1/2)$
$2^(1/3)(-sqrt3/2-i1/2)$
sono giuste e lo conferma anche wolfram le cui soluzioni sono:$(sqrt2/2+isqrt2/2)$
$(-sqrt2/2-isqrt2/2)$
$2^(1/3)i$
$2^(1/3)(sqrt3/2-i1/2)$
$2^(1/3)(-sqrt3/2-i1/2)$
"iMatteo1":
Ci sono altri modi per calcolare la radice di un numero complesso?
Certo, si poteva fare in forma algebrica
$sqrt(i)=a+ib rarr i=(a+ib)^2$
$a^2-b^2+2iab=i$
per il principio di identità dei polinomi abbiamo che
${ ( a^2-b^2=0 ),( 2ab=1 ):} rarr { ( a^2=b^2 ),( b=1/(2a) ):} $
$a^2-1/(4a^2)=0 rarr 4a^4=1 rarr a=+- sqrt2/2, b=+-sqrt2/2$
dunque $sqrti=+-(sqrt2/2+isqrt2/2)$
non è che potreste chiarirmi le idee riguardo un altro esercizio?
trovare i possibili valori di z sapendo che
$z/\overline{z}+3/|z|^2=1$
io ho pensato di scrivere $z=a+bi$ e di riscrivere l'equazione come
$(a+bi)/(a-bi)+3/(a^2+b^2)=1$
$(a+bi)^2/((a-bi)(a+bi))+3/(a^2+b^2)=1$
$(a+bi)^2/(a^2+b^2)+3/(a^2+b^2)=1$
$a^2-b^2+2abi+3=a^2+b^2$
$2b^2-3-2abi=0$
affinché quel numero complesso sia zero sia la parte reale che quella immaginaria devono essere uguale a zero, pertanto
$2b^2-3=0$ $\vee$ $-2abi=0$
quindi $b=\pm\sqrt{6}/2$ e $a=0$
quindi $z=\pm sqrt{6}/2i$
va bene così o c'è un procedimento più semplice? sto studiando i numeri complessi da autodidatta e poiché ci ho messo un po' di tempo per risolvere questo esercizio, vorrei assicurarmi di non essermi perso qualcosa di teoria che mi avrebbe agevolato.
trovare i possibili valori di z sapendo che
$z/\overline{z}+3/|z|^2=1$
io ho pensato di scrivere $z=a+bi$ e di riscrivere l'equazione come
$(a+bi)/(a-bi)+3/(a^2+b^2)=1$
$(a+bi)^2/((a-bi)(a+bi))+3/(a^2+b^2)=1$
$(a+bi)^2/(a^2+b^2)+3/(a^2+b^2)=1$
$a^2-b^2+2abi+3=a^2+b^2$
$2b^2-3-2abi=0$
affinché quel numero complesso sia zero sia la parte reale che quella immaginaria devono essere uguale a zero, pertanto
$2b^2-3=0$ $\vee$ $-2abi=0$
quindi $b=\pm\sqrt{6}/2$ e $a=0$
quindi $z=\pm sqrt{6}/2i$
va bene così o c'è un procedimento più semplice? sto studiando i numeri complessi da autodidatta e poiché ci ho messo un po' di tempo per risolvere questo esercizio, vorrei assicurarmi di non essermi perso qualcosa di teoria che mi avrebbe agevolato.
"andar9896":
[quote="iMatteo1"] Ci sono altri modi per calcolare la radice di un numero complesso?
Certo, si poteva fare in forma algebrica
$sqrt(i)=a+ib rarr i=(a+ib)^2$
$a^2-b^2+2ab=i$
per il principio di identità dei polinomi abbiamo che
${ ( a^2-b^2=0 ),( 2ab=1 ):} rarr { ( a^2=b^2 ),( b=1/(2a) ):} $
$a^2-1/(4a^2)=0 rarr 4a^4=1 rarr a=+- sqrt2/2, b=+-sqrt2/2$
dunque $sqrti=+-(sqrt2/2+isqrt2/2)$[/quote]
Mi sono accorto solo ora di questo messaggio. Ti ringrazio, potrebbe essermi molto utile, solo non mi è ben chiaro il passaggio che giustifichi con il principio di identità dei polinomi
Non riesco proprio a capire perché ${ ( a^2-b^2=0 ),( 2ab=1 ):} $
Il principio di identità dei polinomi afferma che due polinomu sono uguali se hanno gli stessi coefficienti... il polinomio $i$ ha parte reale 0 e parte immaginaria 1; nel polinomio $a^2-b^2+i2ab$ la parte reale è $a^2-b^2$ mentre quella immaginaria sarà $2ab$. Affinché i due polimi siano uguali, deve valere l'equivalenza sel sistema 
Capito l'intoppo, ho scritto $2ab$ al posto di $2iab$
correggo!
Capito l'intoppo, ho scritto $2ab$ al posto di $2iab$
correggo!
L'altro esercizio comunque mi sembra corretto...
"andar9896":
Il principio di identità dei polinomi afferma che due polinomu sono uguali se hanno gli stessi coefficienti... il polinomio $i$ ha parte reale 0 e parte immaginaria 1; nel polinomio $a^2-b^2+i2ab$ la parte reale è $a^2-b^2$ mentre quella immaginaria sarà $2ab$. Affinché i due polimi siano uguali, deve valere l'equivalenza sel sistema
Capito l'intoppo, ho scritto $2ab$ al posto di $2iab$
ah ok, adesso ho capito
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