Esercizio sui limiti notevoli
Il limite in questione è: lim x->-4 ((tg(pi*x))/(2x+8))
Ora, io ho provato a operare un cambiamento di variabile ponendo y= x+4. Tuttavia, l'indeterminazione mi rimane. Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio? Grazie in anticipo.
Ora, io ho provato a operare un cambiamento di variabile ponendo y= x+4. Tuttavia, l'indeterminazione mi rimane. Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio? Grazie in anticipo.
Risposte
$$ \tan (\pi x) = \tan \Big (\pi (x+4) - 4\pi \Big) = \frac{\tan \Big (\pi (x + 4) \Big) + {\tan (-4 \pi)}}{1 - {\tan \Big (\pi (x + 4) \Big) \tan (-4 \pi)}} = \tan \big (\pi (x+4) \big ) $$
Volendo si può evitare di usare la regola per la tangente di una somma di angoli, notando immediatamente che, per la periodicità, [tex]\tan \Big (\pi (x+4) - 4\pi \Big) = \tan \big (\pi (x+4) \big )[/tex], ma male non fa usarla di tanto in tanto.
Quindi, ponendo $t = x + 4$:
$$ \lim_{x \to - 4}{\frac{\tan (\pi x)}{ 2x + 8}} = \frac{\pi}{2} \lim_{t \to 0} {\frac{\tan (\pi t)}{\pi t}} = \dots$$
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Volendo si può evitare di usare la regola per la tangente di una somma di angoli, notando immediatamente che, per la periodicità, [tex]\tan \Big (\pi (x+4) - 4\pi \Big) = \tan \big (\pi (x+4) \big )[/tex], ma male non fa usarla di tanto in tanto.
Quindi, ponendo $t = x + 4$:
$$ \lim_{x \to - 4}{\frac{\tan (\pi x)}{ 2x + 8}} = \frac{\pi}{2} \lim_{t \to 0} {\frac{\tan (\pi t)}{\pi t}} = \dots$$
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