Esercizio sugli insiemi e sugli estremi
Per ognuna di queste funzioni bisogna determinare l'insieme immagine, l'estremo Sup, Inf e se esistono il MAX e MIN.
Ecco i testi e le relative soluzioni:
b) f(x) = x^2 – 2x nell’intervallo X (0, +∞)
Im f(x)= [-1,+∞), supA=+∞, InfA= -1, MinA= -1
c) f(x)= e^x+1 in R
Imf(x) = (0, +∞), SupA=+∞, InfA=0, non esistono MIN e MAX
d) f(x) ln(x) nell’intervallo X = (0,1]
Im f(x)= (-∞, 0], SupA=0=MaxA, InfA= -∞, non esiste MIN
e)f(x)= ln(x+2) nell’intervallo X=(0,+ ∞)
Imf(x)= (ln2,+∞), SupA+∞, InfA=ln2, non esistono MIN e MAX
Non capisco le seguenti cose:
b) per -1 è MIN, dato che non appertiene a X?
c) perchè l'immagine non va da 2 a +∞? L'ho dedotto in quanto ho disegnato il grafico;
d) perchè 0 è MIN se non è contenuto in X?
e) perchè ln2 (che è uguale a 1 giusto?) non è punto di MIN dato che è contenuto nell'intervallo X?
Ecco i testi e le relative soluzioni:
b) f(x) = x^2 – 2x nell’intervallo X (0, +∞)
Im f(x)= [-1,+∞), supA=+∞, InfA= -1, MinA= -1
c) f(x)= e^x+1 in R
Imf(x) = (0, +∞), SupA=+∞, InfA=0, non esistono MIN e MAX
d) f(x) ln(x) nell’intervallo X = (0,1]
Im f(x)= (-∞, 0], SupA=0=MaxA, InfA= -∞, non esiste MIN
e)f(x)= ln(x+2) nell’intervallo X=(0,+ ∞)
Imf(x)= (ln2,+∞), SupA+∞, InfA=ln2, non esistono MIN e MAX
Non capisco le seguenti cose:
b) per -1 è MIN, dato che non appertiene a X?
c) perchè l'immagine non va da 2 a +∞? L'ho dedotto in quanto ho disegnato il grafico;
d) perchè 0 è MIN se non è contenuto in X?
e) perchè ln2 (che è uguale a 1 giusto?) non è punto di MIN dato che è contenuto nell'intervallo X?
Risposte
per le domande b,d,e non possiamo aiutarti se non ci dici come è fatto l'insieme $A$.
per la c: 2 è solo il punto in cui l'asse delle y incontra la funzione (dove si intersecano). la funzione non inizia da quel punto però. a sinistra hai un pezzo dell'esponenziale che tende a zero. da cui l'insieme della soluzione fornita.
per la c: 2 è solo il punto in cui l'asse delle y incontra la funzione (dove si intersecano). la funzione non inizia da quel punto però. a sinistra hai un pezzo dell'esponenziale che tende a zero. da cui l'insieme della soluzione fornita.
Comincio con b) $f(x) = x^2 – 2x$ nell’intervallo $X (0, +∞)$
$Imf(x)= [-1;+∞)$, $SupA=+∞$, $InfA= -1$, $minA= -1$
Considera la parabola $f(x) = x^2 – 2x$ nell’intervallo $X (0, +∞)$, magari disegnala anche, che così si chiariscono molte cose.
La parabola ha il vertice in $(1, -1)$, quindi l'immagine della funzione (cioè l'insieme delle y della parabola) è l'intervallo che va da $-1$ fino a $+oo$ visto che il ramo ammesso va verso l'alto, l'altro si arresta vicino allo 0.
Suppongo che A sia l'immagine della funzione, quindi è molto semplice individuare che non ha massimo, ma solo $SupA=+∞$, mentre ha minimo (la y del vertice) e $minA= -1$. Se la funzione ammette minimo questo è anche l'estremo inferiore.
$Imf(x)= [-1;+∞)$, $SupA=+∞$, $InfA= -1$, $minA= -1$
Considera la parabola $f(x) = x^2 – 2x$ nell’intervallo $X (0, +∞)$, magari disegnala anche, che così si chiariscono molte cose.
La parabola ha il vertice in $(1, -1)$, quindi l'immagine della funzione (cioè l'insieme delle y della parabola) è l'intervallo che va da $-1$ fino a $+oo$ visto che il ramo ammesso va verso l'alto, l'altro si arresta vicino allo 0.
Suppongo che A sia l'immagine della funzione, quindi è molto semplice individuare che non ha massimo, ma solo $SupA=+∞$, mentre ha minimo (la y del vertice) e $minA= -1$. Se la funzione ammette minimo questo è anche l'estremo inferiore.
"@melia":
Suppongo che A sia l'immagine della funzione
non avevo colto questo punto ma in effetti ha perfettamente senso.
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