Esercizio sugli estremi di un insieme, minimo e massimo
Dato il seguente insieme, verifica che gli estremi superiori e inferiori sono quelli indicati a fianco, indicando anche se sono massimo e minimo.
L'insieme è:
$A={x|x=n^2,n in NN}, 0, + infty$
allora
$ AA x in A >= 0 $
quindi
$n^2$ $>=0 $ vera $AA x in NN - {o}$
per $n^2 = 0 $ risulta impossibile quindi zero non è elemento dell'insieme
Poichè 0 sia l'estremo inferiore $AA$ $\epsilon$ $>0$ $\rightarrow$ $x<0+ epsilon $ e la disequazione deve ammettere almeno una soluzione
quindi $n^2$ < $epsilon$
cioè
$-sqrt(epsilon)
quindi basta per dimostrare che 0 è il minimo?
e invece per l'infinito come lo dimostro? cioè non dovrebbe essere aperto superiormente sempre visto che infinito non si può prendere come valore?
altra domandina sugli insiemi nidificati:
considero $[a_m , b_m] ; [ a_n , b_n ]$
io ho che:
$m>n$ $\rightarrow$ $a_m
$m
quindi si ha che l'insieme dei primi estremi è limitato superiormente se esiste il superiore di ${a_n}_n$ $in$ $NN$
non ho ben capito perchè a che è l'estremo inferiore diventra estremo superiore. Probabilmente avrò scritto male negli appunti, o non so! Purtroppo non c'è stato tempo di chiedere altre spiegazioni al prof e pensavo di aver capito, ma rileggendo mi accorgo che mi sono un pò confusa.
L'insieme è:
$A={x|x=n^2,n in NN}, 0, + infty$
allora
$ AA x in A >= 0 $
quindi
$n^2$ $>=0 $ vera $AA x in NN - {o}$
per $n^2 = 0 $ risulta impossibile quindi zero non è elemento dell'insieme
Poichè 0 sia l'estremo inferiore $AA$ $\epsilon$ $>0$ $\rightarrow$ $x<0+ epsilon $ e la disequazione deve ammettere almeno una soluzione
quindi $n^2$ < $epsilon$
cioè
$-sqrt(epsilon)
quindi basta per dimostrare che 0 è il minimo?
e invece per l'infinito come lo dimostro? cioè non dovrebbe essere aperto superiormente sempre visto che infinito non si può prendere come valore?
altra domandina sugli insiemi nidificati:
considero $[a_m , b_m] ; [ a_n , b_n ]$
io ho che:
$m>n$ $\rightarrow$ $a_m
$m
quindi si ha che l'insieme dei primi estremi è limitato superiormente se esiste il superiore di ${a_n}_n$ $in$ $NN$
non ho ben capito perchè a che è l'estremo inferiore diventra estremo superiore. Probabilmente avrò scritto male negli appunti, o non so! Purtroppo non c'è stato tempo di chiedere altre spiegazioni al prof e pensavo di aver capito, ma rileggendo mi accorgo che mi sono un pò confusa.
Risposte
se hai detto che $ 0 $ è estremo inferiore, deve essere $ x > 0 vera AA x in A $ e questo sai che è banalmente vero...
per dimostrare l'infinito prova a fare così: prendi un generico $ m in NN $ grande a piacere e chiediti se $ EE x in NN $ tale che $ x geq m $
domanda: ti ha detto il prof di prendere $ NN -{0 } $ ?[/quote]
per dimostrare l'infinito prova a fare così: prendi un generico $ m in NN $ grande a piacere e chiediti se $ EE x in NN $ tale che $ x geq m $
domanda: ti ha detto il prof di prendere $ NN -{0 } $ ?[/quote]
no ragionando con una mia amica io avevo detto di prendere lo zero, ma lei mi ha fatto notare che la base di una funzione esponenziale deve essere maggiore di zero...però non mi convince molto
allora,non è una funzione esponenziale perché non è del tipo $a^x$ o $e^x$ per capirci 
se lo fosse stato, in quel la tua amica avrebbe avuto ragione: "non ha senso" fare $0^x$. ma non è il nostro caso. quindi il punto in realtà è questo: ci sono matematici (non mi ricordo se in generale succede in algebra o in analisi... varia da prof a prof) che in $NN$ comprendono lo 0. inoltre, se ci fai caso, $x^(2)$ è la funzione che ha come grafico una parabola. dunque, se poni x=0, trovi il centro della parabola standard -non traslata- (0,0). ora devi solo scegliere se comprendere lo 0 o no
se lo fosse stato, in quel la tua amica avrebbe avuto ragione: "non ha senso" fare $0^x$. ma non è il nostro caso. quindi il punto in realtà è questo: ci sono matematici (non mi ricordo se in generale succede in algebra o in analisi... varia da prof a prof) che in $NN$ comprendono lo 0. inoltre, se ci fai caso, $x^(2)$ è la funzione che ha come grafico una parabola. dunque, se poni x=0, trovi il centro della parabola standard -non traslata- (0,0). ora devi solo scegliere se comprendere lo 0 o no
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