Esercizio su integrale definito

[nicolae1]

ciao ragazzi, ho un problema col seguente integrale:

$int_(0)^(pi/2) 1/(1+sinx)dx $
ho provato a svolgerlo cosi:
$int_(0)^(pi/2) 1/(1+sinx)dx = int_(0)^(pi/2) 1/(1+sinx)* (1-sinx)/(1-sinx)dx =int_(0)^(pi/2) (1-sinx)/(1-sin^2x)dx = int_(0)^(pi/2) (1-sinx)/(1-(1-cos^2x))dx = -int_(0)^(pi/2) 1/(cos^2x) dx +int_(0)^(pi/2) (senx)/(cos^2x)dx=-[tgx]_0^(pi/2) - int_(0)^(pi/2) -(sinx)/(cosx) * 1/cosx dx $

poi, nell'integrale rimanente, avrei sostituito
$t=cosx$
$dt=-sinx dx$
ma ci sono problemi con quella tangente in $pi/2$
come dovrei fare?
p.s. se ho fatto qualche errore correggetemi!

[stormy1]

sì,il problema è che così ti vengono degli integrali impropri
consiglierei di fare la sostituzione $tan( x/2)=t$

[nicolae1]

scusa stormy ma non capisco, riesci a scrivermi il passaggio per esteso?
grazie

[stormy1]

con la sostituzione proposta hai $x=2arctg t$ e quindi $dx=2/(1+t^2)dt$
inoltre dalle formule parametriche sappiamo che $senx=(2t)/(1+t^2)$
quindi ti riconduci a calcolare l'integrale $ int_(0)^(1) 1/(1+(2t)/(1+t^2)) 2/(1+t^2)dt $

[giammaria2]

Il metodo suggerito da stormy è senz'altro il migliore ma si può arrivare al risultato anche con quello di nicolae purché si abbia l'avvertenza di lavorare sull'integrale indefinito. Abbiamo infatti, calcolato fra $0$ e $pi/2$,

$-tanx+1/cosx=-sinx/cosx+1/cosx=(1-sinx)/cosx*(1+sinx)/(1+sinx)=(cos^2x)/(cosx(1+sinx))=cosx/(1+sinx)$

ed ora possiamo sostituire gli estremi di integrazione.