Esercizio su circonferenza
Scrivi l'equazione delle circonferenze tangenti agli assi cartesiani e passanti per il punto (3, 2/3).
Io ho capito che :
Le circonferenze sono 2. Hanno il centro sulla bisettrice del primo e terzo quadrante. Un altro punto che appartiene a entrambe le circonferenze è il simmetrico rispetto a tale bisettrice del punto dato. Ho provato a impostare l'uguaglianza delle distanze tra gli assi ortogonali e un centro generico. Ho provato a considerare dei triangoli rettangoli congruenti che si formano ma la mia impostazione mi riconduce sempre all'identità... qualche suggerimento?... Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere.
Io ho capito che :
Le circonferenze sono 2. Hanno il centro sulla bisettrice del primo e terzo quadrante. Un altro punto che appartiene a entrambe le circonferenze è il simmetrico rispetto a tale bisettrice del punto dato. Ho provato a impostare l'uguaglianza delle distanze tra gli assi ortogonali e un centro generico. Ho provato a considerare dei triangoli rettangoli congruenti che si formano ma la mia impostazione mi riconduce sempre all'identità... qualche suggerimento?... Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere.
Risposte
Devi imporre almeno una delle due condizioni di tangenza (l'altra viene di conseguenza al fatto che il centro è sulla bisettrice dei quadranti), ci sono un sacco di circonferenza con centro sulla bisettrice, che passano per $(3, 2/3)$, ma non sono tangenti agli assi.
L'aver posto il centro sulla bisettrice o dire che la circonferenza passa per $(3, 2/3)$ e per il suo simmetrico, algebricamente, sono equivalenti: per forza che viene una identità.
L'aver posto il centro sulla bisettrice o dire che la circonferenza passa per $(3, 2/3)$ e per il suo simmetrico, algebricamente, sono equivalenti: per forza che viene una identità.
La condizione di tangenza è data dal fatto che la distanza tra il centro della circonferenza e gli assi è equivalente al raggio. Se imposto il calcolo del raggio con la formula della distanza punto retta ( le equazioni dei due assi cartesiani) mi ritrovo sempre con l'identità.Non vedo altri elementi.
Se faccio distanza tra assi e centro ottengo identità. Se faccio distanza bisettrice da un punto degli assi lo stesso. Se faccio imposto la circonferenza passante per due punti e poi la interseco con la bisettrice ancora identità. .. io le ho provate tutte .... Ho fatto correttamente tutti gli esercizi della sezione... vorrà dire che mi rimarrà sto tarlo. grazie comunque.
Le circonferenze sono tangenti ai due assi cartesiani e passano per $(3, 2/3)$. Le circonferenza per assolvere le condizioni devono stare nel primo quadrante. Inoltre le due condizioni di tangenza mi assicurano che il centro ha coordinate $(k, k)$ e il raggio vale $k$, quindi per la definizione di circonferenza l'equazione è
$(x-k)^2+(y-k)^2=k^2$
È rimasto un solo parametro e non ho ancora usato il fatto che la circonferenza deve passare per $(3, 2/3)$, imponendo questa condizione ottengo
$(3-k)^2+(2/3-k)^2=k^2$ risolvendo l'equazione si ottengono i due valori di $k$
$k_1=5/3$ e $k_2=17/3$
che dovrai sostituire in $(x-k)^2+(y-k)^2=k^2$ per trovare le due equazioni cercate.
$(x-k)^2+(y-k)^2=k^2$
È rimasto un solo parametro e non ho ancora usato il fatto che la circonferenza deve passare per $(3, 2/3)$, imponendo questa condizione ottengo
$(3-k)^2+(2/3-k)^2=k^2$ risolvendo l'equazione si ottengono i due valori di $k$
$k_1=5/3$ e $k_2=17/3$
che dovrai sostituire in $(x-k)^2+(y-k)^2=k^2$ per trovare le due equazioni cercate.
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