Esercizio scomposizione polinomi
Salve a tutti, sono nuova del forum.
Posso chiedere aiuto con un esercizio che non riesco a svolgere?
Devo scomporre questo polinomio in fattori:
$4x^3-4x^2y-11xy^2+6y^3$
Utilizando il metodo di Ruffini ho ottenuto questa scomposizione parziale:
$(4x^2+4xy-3y^2) (x-2y)$
ma non riesco ad andare avanti...nè riapplicando Ruffini nè in altro modo: non è il quadrato di un binomio e neanche un trinomio di secondo grado particolare, eppure il risultato finale deve essere:
$(x-2y)(2x-y) (2x+3y)$
Con quale criterio $(4x^2+4xy-3y^2)$ diventa $(2x-y) (2x+3y)$ ?
Posso chiedere aiuto con un esercizio che non riesco a svolgere?
Devo scomporre questo polinomio in fattori:
$4x^3-4x^2y-11xy^2+6y^3$
Utilizando il metodo di Ruffini ho ottenuto questa scomposizione parziale:
$(4x^2+4xy-3y^2) (x-2y)$
ma non riesco ad andare avanti...nè riapplicando Ruffini nè in altro modo: non è il quadrato di un binomio e neanche un trinomio di secondo grado particolare, eppure il risultato finale deve essere:
$(x-2y)(2x-y) (2x+3y)$
Con quale criterio $(4x^2+4xy-3y^2)$ diventa $(2x-y) (2x+3y)$ ?
Risposte
Io proverei a fre la sostituzione$2x=t; in questo modo diventa:
$t^2+2ty-3y^2$
adesso si cercano due numeri che sommati diano $2y e moltiplicati diano $-3y$: questi numeri sono $3y$ e $-y$ da cui
$t^2+2ty-3y^2=(t+3y)(t-y)$
e ricordando la sostituzione si ottiene quello che si cercava...almeno credo.
$t^2+2ty-3y^2$
adesso si cercano due numeri che sommati diano $2y e moltiplicati diano $-3y$: questi numeri sono $3y$ e $-y$ da cui
$t^2+2ty-3y^2=(t+3y)(t-y)$
e ricordando la sostituzione si ottiene quello che si cercava...almeno credo.
In questo modo effettivamente ha senso, però mi sembra un pò troppo avanzato per un quinto ginnasio, non c'era nemmeno un esempio simile .... Non ci sarei arrivata mai 
Grazie!
Grazie!
"WiZaRd":
Io proverei a fre la sostituzione$2x=t; in questo modo diventa:
$t^2+2ty-3y^2$
adesso si cercano due numeri che sommati diano $2y e moltiplicati diano $-3y$: questi numeri sono $3y$ e $-y$ da cui
$t^2+2ty-3y^2=(t+3y)(t-y)$
e ricordando la sostituzione si ottiene quello che si cercava...almeno credo.
Anche secondo me è giusto cosi.
Sai wizard stavo provando la stessa cosa ma senza la sostitusione $2x=t$. In questo caso la somma è $4y$ e il prodotto $-12y^2$ ? nn mi torna
"Athena":
In questo modo effettivamente ha senso, però mi sembra un pò troppo avanzato per un quinto ginnasio, non c'era nemmeno un esempio simile .... Non ci sarei arrivata mai
Grazie!
quello della somma&prodotto è uno stratagemma a cui si ricorre quando non si riesce a fattorizzare.
Se ad esempio hai questo polinomio da fattorizzare:
$x^2+5x+6$ devi trovare 2 numeri la cui somma sia $6$ (termine noto) e il prodotto sia 5 (coefficiente della x)
questi numeri sono 3 e 2. quindi diventa: $x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$
Se però il coefficiente della $x^2$ è maggiore di 1 le cose cambiano un pochino
[/quote]
Anche secondo me è giusto cosi.
Sai wizard stavo provando la stessa cosa ma senza la sostitusione $2x=t$. In questo caso la somma è $4y$ e il prodotto $-12y^2$ ?[/quote]
$-12y^2$ da dove spunta?
Per quale ragionamento $-3y^2$ si trasforma in -12?
Anche secondo me è giusto cosi.
Sai wizard stavo provando la stessa cosa ma senza la sostitusione $2x=t$. In questo caso la somma è $4y$ e il prodotto $-12y^2$ ?[/quote]
$-12y^2$ da dove spunta?
Per quale ragionamento $-3y^2$ si trasforma in -12?
"Athena":
Salve a tutti, sono nuova del forum.
Posso chiedere aiuto con un esercizio che non riesco a svolgere?
Devo scomporre questo polinomio in fattori:
$4x^3-4x^2y-11xy^2+6y^3$
Utilizando il metodo di Ruffini ho ottenuto questa scomposizione parziale:
$(4x^2+4xy-3y^2) (x-2y)$
ma non riesco ad andare avanti...nè riapplicando Ruffini nè in altro modo: non è il quadrato di un binomio e neanche un trinomio di secondo grado particolare, eppure il risultato finale deve essere:
$(x-2y)(2x-y) (2x+3y)$
Con quale criterio $(4x^2+4xy-3y^2)$ diventa $(2x-y) (2x+3y)$ ?
Basta dividere $4x^2+4xy-3y^2$ per $x^2$ e risolvere tutto rispetto a $\frac{y}{x}$.
Dal punto di vista geometrico
$4x^2+4xy-3y^2 = 0$
rappresenta due rette, ovvero un'iperbole degenere.
Oppure se vuoi
$4x^2+4xy-3y^2 = 0$
rappresenta gli asintoti del fascio di iperboli
$4x^2+4xy-3y^2 = k$ con $k \in RR$.
Francesco Daddi
scusate, si poteva equivalentemente risolvere l'equazione di secondo grado rispetto ad x e poi scomporre usualmente (come radici, invece di numeri, otteniamo espressioni in y) ???
alex
alex
"raff5184":
[quote="Athena"]In questo modo effettivamente ha senso, però mi sembra un pò troppo avanzato per un quinto ginnasio, non c'era nemmeno un esempio simile .... Non ci sarei arrivata mai
Grazie!
quello della somma&prodotto è uno stratagemma a cui si ricorre quando non si riesce a fattorizzare.
Se ad esempio hai questo polinomio da fattorizzare:
$x^2+5x+6$ devi trovare 2 numeri la cui somma sia $6$ (termine noto) e il prodotto sia 5 (coefficiente della x)
questi numeri sono 3 e 2. quindi diventa: $x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$
Se però il coefficiente della $x^2$ è maggiore di 1 le cose cambiano un pochino[/quote]
Conosco questo stratagemma,nel mio libro viene chiamato metodo del trinomio di secondo grado particolare. Ma lo so risolvere solo quando il coefficiente della $x^2$ è 1, negli altri casi cosa si fa?
"Athena":
$-12y^2$ da dove spunta?
Per quale ragionamento $-3y^2$ si trasforma in -12?
Infatti aspettavo una conferma di Wizard. Il fatto è che, come ho ghià detto, il coefficiente della $x^2$ non è 1, ma in questo caso è 4. Pertanto il prodotto va scelto come $-3y^2*4$
"codino75":
scusate, si poteva equivalentemente risolvere l'equazione di secondo grado rispetto ad x e poi scomporre usualmente (come radici, invece di numeri, otteniamo espressioni in y) ???
alex
Guarda che questo è programma di 5 ginnasio, non ho mai fatto le equazioni di 2 grado ne tanto meno il fascio di iperboli...
"Athena":
Conosco questo stratagemma,nel mio libro viene chiamato metodo del trinomio di secondo grado particolare. Ma lo so risolvere solo quando il coefficiente della $x^2$ è 1, negli altri casi cosa si fa?
ci sono! un attimo che te lo posto se nn mi precedono
dunque, in realtà non era necessario nemmeno conoscere la tecnica di fattorizzazione del trinomio di secondo grado particolare.
Bastava osservare, una stupidaggine, che $4x^2$+4xy$-3y^2 = 4x^2+ $-2xy+6xy$-3y^2$ dopodiché si mettono in evidenza il Ie il II termine e il III e IV:
$2x*(2x-y) + 3x*(2x-y)= $ (continuando a mettere in evidenza) $=(2x-y)(2x+3y)$
Se però questa intuizione non ti veniva potevi sempre usare il metodo di fattorizzazione del trinomio di secondo grado particolare che nel caso di un polinomio con coefficiente della $x^2$ maggiore di 1, in generale diventa così:
facciamo un esempio pratico
$2x^2+5x-12$ questo è il polinomio da fattorizzare
la somma è $5$
il prodotto si secglie come: $-12*2=-24$
i 2 numeri che per somma danno 5 e prodotto -24 sono $-3 e $8
allora si scrive:
$2x^2+5x-12= 2x^2 +$8$x$-3$x-12$ si eseguono le messe in evidenza successive e alla fine si ottiene: $(x+4)(2x-3)$
Ma tutto questo si poteva evitare se si osservava subito che $5x=8x-3x$
Bastava osservare, una stupidaggine, che $4x^2$+4xy$-3y^2 = 4x^2+ $-2xy+6xy$-3y^2$ dopodiché si mettono in evidenza il Ie il II termine e il III e IV:
$2x*(2x-y) + 3x*(2x-y)= $ (continuando a mettere in evidenza) $=(2x-y)(2x+3y)$
Se però questa intuizione non ti veniva potevi sempre usare il metodo di fattorizzazione del trinomio di secondo grado particolare che nel caso di un polinomio con coefficiente della $x^2$ maggiore di 1, in generale diventa così:
facciamo un esempio pratico
$2x^2+5x-12$ questo è il polinomio da fattorizzare
la somma è $5$
il prodotto si secglie come: $-12*2=-24$
i 2 numeri che per somma danno 5 e prodotto -24 sono $-3 e $8
allora si scrive:
$2x^2+5x-12= 2x^2 +$8$x$-3$x-12$ si eseguono le messe in evidenza successive e alla fine si ottiene: $(x+4)(2x-3)$
Ma tutto questo si poteva evitare se si osservava subito che $5x=8x-3x$
Ti ringrazio! E' assurdo che nel testo di non ci fosse nessuna spegazione su questo, potevano almeno mettere un esercizio di questo tipo negli esempi svolti e invece niente...
Come può qualcuno che non sia un genio per intuizione o che non ha abbastanza esperienza (non è da tutti pensare di trasformare 4 in -2 +6) , ma che studiando la teoria riesce comunque a risolvere gli esercizi senza troppa difficoltà, arrivarci senza aiuto?
Come può qualcuno che non sia un genio per intuizione o che non ha abbastanza esperienza (non è da tutti pensare di trasformare 4 in -2 +6) , ma che studiando la teoria riesce comunque a risolvere gli esercizi senza troppa difficoltà, arrivarci senza aiuto?
"Athena":
Ti ringrazio! E' assurdo che nel testo di non ci fosse nessuna spegazione su questo, potevano almeno mettere un esercizio di questo tipo negli esempi svolti e invece niente...
Come può qualcuno che non sia un genio per intuizione o che non ha abbastanza esperienza (non è da tutti pensare di trasformare 4 in -2 +6) , ma che studiando la teoria riesce comunque a risolvere gli esercizi senza troppa difficoltà, arrivarci senza aiuto?
Ti capisco, e per questo mi è capitato di odiare un bel pò di libri!
"raff5184":
Ti capisco, e per questo mi è capitato di odiare un bel pò di libri!
C'è qualche buon libro che ricopre il programma di primo anno di liceo scientifico (insiemi, logica, accenno di funzioni, relazioni, calcolo letterale, equazioni e problemi di primo grado) con spiegazioni ed esempi esaurienti? I libri del classico non valgono molto...
"Athena":
C'è qualche buon libro che ricopre il programma di primo anno di liceo scientifico (insiemi, logica, accenno di funzioni, relazioni, calcolo letterale, equazioni e problemi di primo grado) con spiegazioni ed esempi esaurienti? I libri del classico non valgono molto...
prendi un libro di matematica consigliato in un liceo scientifico e studia su quello. Un errore che i ragazzi fanno in matematica è quello di non leggere il libro, ma di usarlo solo per gli esercizi, male!
In genere i libri dei licei scientifici hanno molti esempi ed esercizi. Non prendere versioni semplificate, confondono solo le idee e spiegano male. Meglio un bel mattoncino ma fatto bene
"raff5184":
[quote="Athena"]
$-12y^2$ da dove spunta?
Per quale ragionamento $-3y^2$ si trasforma in -12?
Infatti aspettavo una conferma di Wizard. Il fatto è che, come ho ghià detto, il coefficiente della $x^2$ non è 1, ma in questo caso è 4. Pertanto il prodotto va scelto come $-3y^2*4$[/quote]
Come giustamente hai notato e come hai correttamente verificato dopo da solo, si procede in questo modo.
"WiZaRd":
[quote="raff5184"][quote="Athena"]
$-12y^2$ da dove spunta?
Per quale ragionamento $-3y^2$ si trasforma in -12?
Infatti aspettavo una conferma di Wizard. Il fatto è che, come ho ghià detto, il coefficiente della $x^2$ non è 1, ma in questo caso è 4. Pertanto il prodotto va scelto come $-3y^2*4$[/quote]
Come giustamente hai notato e come hai correttamente verificato dopo da solo, si procede in questo modo.[/quote]
all'inizio non mi tornavano i conti...
Buona giornata
c'è una sotto-regola di ruffini che permetteva di scomporlo:
i valori di a(fattore di scomposizione) vanno ricercati fra i divisori del termine noto E FRA LE FRAZIONI CHE HANNO AL NUMERATORE I DIVISORI DEL TERMINE NOTO E AL DENOMINATORE I DIVISORI DEL COEFFICENTE DI GRADO MASSIMO
in questo caso è da cercarsi fra:
$-3y,-y,3y,y, y/2 , y/4 , -y/2 , -y/4 , 3y/2 , 3y/4 , -3y/2 , -3y/4$
provando, si nota che $y/2$ e $-3y/2$ funzionano
i valori di a(fattore di scomposizione) vanno ricercati fra i divisori del termine noto E FRA LE FRAZIONI CHE HANNO AL NUMERATORE I DIVISORI DEL TERMINE NOTO E AL DENOMINATORE I DIVISORI DEL COEFFICENTE DI GRADO MASSIMO
in questo caso è da cercarsi fra:
$-3y,-y,3y,y, y/2 , y/4 , -y/2 , -y/4 , 3y/2 , 3y/4 , -3y/2 , -3y/4$
provando, si nota che $y/2$ e $-3y/2$ funzionano
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