Esercizio rapido (già svolto) sul calcolo combinatorio.

[Ragazzo1231]

Ho trovato un esercizio con soluzione che non ho capito... potreste chiarirmelo?

l'esercizio è questo(quello scritto in grassetto):

Quale dei seguenti numeri può rappresentare la media aritmetica di quatto multipli di 3 consecutivi?
A)5
B)7,5
C)9
D)10,3
E)12
il mio libro lo risolve così:
indicando con $3k(3k+3)+(3k+6)+(3k+9)$, k intero positivo, i quattro multipli consecutivi del numero 3, la loro somma vale:
$3k+(3k+3)+(3k+6)+(3k+9)=12k+18$ (non ho capito questo passaggio)

la media aritmetica dei quatto numeri è data da:
$(12k+18)/(4)=3k+18/(4)= 3k+4,5$
tra le risposte proposte solo la B(7,5) può essere scritta nella forma $3k+4,5$(basta infatti porre K uguale a 1).

qualcuno mi spiega da dove ha preso k? non capisco proprio il passaggio che hanno svolto...

[@melia]

4 multipli di 3 consecutivi possono essere scritti nella forma
$3k, 3(k+1), 3(k+2), 3(k+3)$
a questo punto la media aritmetica dei 4 numeri è
$(3k+3(k+1)+ 3(k+2)+3(k+3))/4= (12k+18)/4 =3k+4,5$
Quale tra le alternative proposte può assumere questa forma? Tieni conto che $k in NN$
A)5, no perché $5=3k+4,5$ implica che $3k=0,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
C)9, no perché $9=3k+4,5$ implica che $3k=4,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
D)10,3, no perché $10,3=3k+4,5$ implica che $3k=5,8$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
E)12, no perché $12=3k+4,5$ implica che $3k=7,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
Resta solo B)7,5 e questo va bene perché $7,5 = 3k +4,5$ implica $3k=3$ e questo è vero per $k=1$

[Ragazzo1231]

"@melia":4 multipli di 3 consecutivi possono essere scritti nella forma
$3k, 3(k+1), 3(k+2), 3(k+3)$
a questo punto la media aritmetica dei 4 numeri è
$(3k+3(k+1)+ 3(k+2)+3(k+3))/4= (12k+18)/4 =3k+4,5$
Quale tra le alternative proposte può assumere questa forma? Tieni conto che $k in NN$
A)5, no perché $5=3k+4,5$ implica che $3k=0,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
C)9, no perché $9=3k+4,5$ implica che $3k=4,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
D)10,3, no perché $10,3=3k+4,5$ implica che $3k=5,8$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
E)12, no perché $12=3k+4,5$ implica che $3k=7,5$, ma il prodotto tra numeri naturali non può essere decimale.
Resta solo B)7,5 e questo va bene perché $7,5 = 3k +4,5$ implica $3k=3$ e questo è vero per $k=1$

ok, credo di aver capito, ma se il quesito fosse stato di rappresentare la media dei multipli consecutivi di 2?

avrei dovuto fare così?

$(2k+2(k+1)+2(k+2)+2(k+3))/(4)=(8k+12)/4=2k+3$

da qui avrei capito il risultato in base alle opzioni che mi avrebbero dato.
giusto?

[antofilo-votailprof]

Io la penserei così.
Ti servono quattro multipli del 3, consecutivi.
$3k$ è un multiplo, gli altri saranno del tipo $3k+3$, $3k+6$, etc.

La media artimetica in pratica altro non è che la somma dei numeri, diviso quanti numeri sommi.
Pertanto sommiamo questi numeri consecutivi, ottenendo
$3k + (3k+3) + (3k + 6) + (3k + 9) $, sommando
$12k + 18$

Ora dividiamo per quanti numeri abbiamo sommato, ossia 4. Avremo pertanto

$(12k + 18) / 4 $ $=$ $3k + 18/4$

Ora non devi far altro che "provare" i numeri dati... ossia,

$3k + 18/4 = 5 $ ossia $3k = 5 - 18/4$, ossia $k = 1/6 $
Osservi che questo risultato non va bene, perchè $K$ rappresenta un numero razionale, quindi non frazionario.
Provando $7,5$ ossia $15/2$ otteniamo

$3k + 18/4 = 15/2 $ ossia $12k + 18 = 30$, otteniamo $12k = 30 - 18$ ossia $k=1$... numero intero, pertanto la soluzione è
$3*(1) + 18/4 $ ossia $7,5$

spero di essere stato chiaro

[Ragazzo1231]

certo, grazie mille anche a te

[@melia]

"Ragazzo123":
ok, credo di aver capito, ma se il quesito fosse stato di rappresentare la media dei multipli consecutivi di 2?
avrei dovuto fare così?
$(2k+2(k+1)+2(k+2)+2(k+3))/(4)=(8k+12)/4=2k+3$
da qui avrei capito il risultato in base alle opzioni che mi avrebbero dato.
giusto?

Sì, e se le opzioni fossero state le stesse avresti avuto come soluzione A) 5 e C) 9

[Ragazzo1231]

ok, grazie mille