Esercizio: quadrilatero inscritto a una circonferenza
Ciao a tutti! Sono quattro giorni che sbatto la testa su un esercizio. Probabilmente la soluzione è banale, perciò non riesco a trovarla.
Data una semi circonferenza di diametro AB e centro O, considera il quadrilatero ABCD inscritto alla semicirconferenza, in modo che tracciando la bisettrice dell'angolo al centro DOB, si incontra in E il lato BC.
Dimostrare che il quadrilatero OECD è inscrivibile in una circonferenza.
Questo è il disegno che ho fatto:
So che dovrei dimostrare che gli angoli opposti del quadrilatero OECD sono supplementari, cioè la loro somma è 180 gradi.
Quello che sono riuscita a trovare sono solo i due triangoli rettangoli inscritti alla semicirconferenza (con angolo rettangolo in D e in C), tre triangoli isosceli (AOD, OBC, DOC) e che gli angoli COB, COD, ODA, DAO sono uguali tra loro. Senza contare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi e puntavo molto su questo, ma non sono riuscita a trarre conclusioni.
Sono bene accetti tutti suggerimenti!
Data una semi circonferenza di diametro AB e centro O, considera il quadrilatero ABCD inscritto alla semicirconferenza, in modo che tracciando la bisettrice dell'angolo al centro DOB, si incontra in E il lato BC.
Dimostrare che il quadrilatero OECD è inscrivibile in una circonferenza.
Questo è il disegno che ho fatto:
So che dovrei dimostrare che gli angoli opposti del quadrilatero OECD sono supplementari, cioè la loro somma è 180 gradi.
Quello che sono riuscita a trovare sono solo i due triangoli rettangoli inscritti alla semicirconferenza (con angolo rettangolo in D e in C), tre triangoli isosceli (AOD, OBC, DOC) e che gli angoli COB, COD, ODA, DAO sono uguali tra loro. Senza contare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi e puntavo molto su questo, ma non sono riuscita a trarre conclusioni.
Sono bene accetti tutti suggerimenti!
Risposte
Vale il seguente teorema: ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro
Quindi l'angolo $D\hat OB$ (quello grande!) è il doppio dell'angolo $D\hat CB$, ma $D\hat OB=360°-2D\hat OE$
($D\hat OE$ è quello che hai indicato in figura con il puntino).
Quindi per transitività vale la seguente identità: $2D\hat CB=360°-2D\hat OE$, semplificando $D\hat CB=180°-D\hat OE$.
$D\hat CB$ e $D\hat OE$ sono angoli opposti e supplementari nel quadrilatero $OECD$. Da qui la tesi.
Quindi l'angolo $D\hat OB$ (quello grande!) è il doppio dell'angolo $D\hat CB$, ma $D\hat OB=360°-2D\hat OE$
($D\hat OE$ è quello che hai indicato in figura con il puntino).
Quindi per transitività vale la seguente identità: $2D\hat CB=360°-2D\hat OE$, semplificando $D\hat CB=180°-D\hat OE$.
$D\hat CB$ e $D\hat OE$ sono angoli opposti e supplementari nel quadrilatero $OECD$. Da qui la tesi.
Grazie tante, bella spiegazione!
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