Esercizio n 31 del Dodero.

[Marco241]

Se per il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni , di vertici A E B, di un triangolo ABC di base BC si conduce la parallela al lato AB ,che incontri i prolungamenti dei lati CA E CB rispettivamente in E e in F , il segmento EF è congruente alla somma dei segmenti AE E BF.

La dimostrazione è la seguente e all'ultimo ho fatto un ragionamento che non mi convince:


HP:

EF parallela ad AB

AO bisettrice dell'angolo esterno EAB

BO bisettrice dell'angolo esterno (ABF)

TH:

$ EF= AE+BF $

Iniziamo:


$ hat(EAO)=hat(OAB) $

$ hat(EOB)=hat(EOA)+hat(AOB) $

$ hat(EOA)=hat(BOA) $

Considero i triangoli:

$ OEA $

$ OBA $

Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli sono congruenti in quanto hanno:

la bisettrice OA come lato comune

$ hat(EAO)=hat(OAB) $ angoli congruenti per via della bisettrice.

$ hat(EOA)=hat(BOA) $

Da ciò deduco:

$ OE=OB $
$ AE=AB $
$ hat(OEA)=hat(OBA) $

Considero poi i triangoli

$ FOB $
$ OBA $

essi hanno:

$ OB $ in comune.
$ hat(FOB)=hat(OBA) $
$ hat(BOA)=hat(OBF) $ si tratta di angoli alterni interni rispetto alle rette OA e BF tagliate dalla trasversale OB.OB come detto prima è anche bisettrice.

Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli si deduce:

$ FOB=OBA $

ma allora

$ FOB=OEA $

Cioè i tre triangoli risultano congruenti...poi ho:

$ BF=OA $
$ AB=OF $

ma allora
$ AE=OF $

Poichè

$ EF=OF+OE $

SI HA:

$ EF=AE+OE $ .

Adesso devo dimostrare che

$ OE=BF. $

Faccio il seguente ragionamento...e qui sta il dubbio.

Poichè in triangoli congruenti ad elementi congruenti stanno opposti elementi congruenti noto che:

BO è bisettrice quindi si ha:

$ hat(BOF)=hat(BOA) $

quindi sarà:

$ BF=AB $

ma

$ hat(BOA)=hat(OAE) $ perchè angoli alterni interni rispetto alle rette BO e AE tagliate dalla trasversale AO

a questi angoli congruenti si oppongono AB e OE...quindi sarà

$ AB=OE=BF $

e quindi:

$ EF=AE+BF $

[giammaria2]

Non vedo perché debba essere $E \hatOA=B \hatOA$ ; non ho proseguito perché la tua soluzione mi sembra inutilmente complicata. Ecco la mia:
$E \hatAO=O \hatAB$ per ipotesi;
$E \hatOA=O \hatAB$ perché alterni interni in rette parallele;
quindi $E \hatAO= E \hatOA$, percjòil triangolo AEO è isoscele e ne consegue $EA=EO$. In modo analogo si dimostra che $BF=OF$ e ne segue la tesi.

Non capisco l'utilità del "di base BC"; oltre a tutto, il disegno viene meglio ponendo $AB$ in orizzontale.

[Marco241]

Niente non ho colto il disegno.Grazie del tuo aiuto.