Esercizio Logaritmo al quadrato

[giamar1]

Salve a tutti,
da qualche giorno sto cercando di risolvere la seguente disequazione:

\(\displaystyle \log^2 _3 (x) + log _3(x) - 6 > 0\)

il risultato sarebbe: \(\displaystyle 0 < x < (1/27) V x>9 \)

Pensavo di procedere in questo modo:

la disequazione è soddisfatta per le seguenti condizioni:

1. \(\displaystyle \log^2 _3 (x)> 0\)
2. \(\displaystyle \log _3(x) > 0\)
3. \(\displaystyle \log^2 _3 (x) + log _3(x) - 6 > 0\)

primo soluzione del sistema: \(\displaystyle \log _3(x) >0 \) ovvero \(\displaystyle \log _3(x) >\log _3(1) \) ovvero \(\displaystyle x > 1 \)

rendiamo "logaritmi" tutti gli elementi della disequazione.
Quindi:

\(\displaystyle \log^2 _3 (x) + log _3(x) - 6 (log_3(3) - log_3(1) > 0\)

ovvero

\(\displaystyle \log^2 _3 (x) + log _3(x) - (log_3(3)^6 > log_3(1) \)

ora sono indeciso se impostare \(\displaystyle \log _3 (x) = t \) oppure applicare le proprietà dei logaritmi e convertire la disequazione come:

\(\displaystyle \ ((x^2) * (x)) / ((3)^6 * (1)) \)

Ringrazio anticipatamente per il supporto

[Lo_zio_Tom]

"giamar":
la disequazione è soddisfatta per le seguenti condizioni:

1. \(\displaystyle \log^2 _3 (x)> 0\)
2. \(\displaystyle \log _3(x) > 0\)
3. \(\displaystyle \log^2 _3 (x) + log _3(x) - 6 > 0\)

e chi lo dice?

se ad esempio ottenessi $16-4-6>0$ non ti piacerebbe[nota]si ottiene da $x=1/81$ che è compreso nell'intervallo delle soluzioni[/nota]?

L'unica condizione da porre è quella che non hai posto: $x>0$ (l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero....il logaritmo può essere anche $-107.66$)

Per il resto, per risolvere la disequazione data (disequazione di secondo grado in $log_(3)x$):

$log_(3)^2x+log_(3)x-6>0 $

senza nemmeno scomodare la formula per la soluzione di un'equazione di secondo grado si osserva subito che tale disequazione si può riscrivere così (scomposizione del "trinomio notevole"):

$(log_3 x+3)(log_3 x-2)>0$ da cui subito si ricava

$log_(3)x<-3 uu log_(3)x>2$ che significa

$x<1/27 uu x>9$


Tenendo conto della condizione iniziale $x>0$ hai trovato la soluzione richiesta

$x in (0;1/27) uu (9;+oo)$

Se non sbaglio già ti è stato detto che non serve a nulla fare e rifare esercizi finché non hai padronanza della teoria.....

"giamar":Per diletto, il mio obiettivo è superare un esame di analisi matematica 1 universitario

Repetita iuvant: Gli obiettivi devono essere ambiziosi ma raggiungibili.....ed un obiettivo così ambizioso non si può raggiungere risolvendo qua e là esercizi a caso senza uno studio sistematico ed approfondito di tutta la teoria sottostante....

[giamar1]

Ciao ti ringrazio per la risposta, in effetti la prima condizione era x > 0.
Mi ha indotto all'errore perché ho applicato la disequazione di f(x) e g(x) >0 impostando entrambi le funzioni > 0.
Ottima l'intuizione di riscrivere la disequazione con la scomposizione del "trinomio notevole".

Non ho capito però come hai ottenuto al volo il valore 1/81 riportato nelle note.

Per quanto riguarda il "superamento" di un compito a caso di analisi 1 ovviamente sono consapevole che devo ancora studiare molto (e il tempo a disposizione durante la giornata è ridotto).

[gugo82]

"giamar":Ottima l'intuizione di riscrivere la disequazione con la scomposizione del "trinomio notevole".

Non è un’intuizione. È una tecnica standard, che più standard non si può… Ed infatti si insegna alle scuole.

"giamar":Mi ha indotto all'errore perché ho applicato la disequazione di f(x) e g(x) >0 impostando entrambi le funzioni > 0.

Ti “ha indotto all’errore” il non avere la minima idea di cosa tu stia facendo, né da dove viene “la disequazione di f(x) e g(x) > 0” (che intuisco essere la tecnica elementare usualmente detta “studio del segno”), ovvero dove ed a quali problemi tale tecnica si applichi.