Esercizio limite della tangente
Ragazzi come lo risolvo questo limite?
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))$
Io procederei usando l'esponenziale e il logaritmo ma poi non so cosa fare. Aiutatemi per favore.
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))$
Io procederei usando l'esponenziale e il logaritmo ma poi non so cosa fare. Aiutatemi per favore.
Risposte
Ti propongo la mia soluzione che mi è venuta così di getto.
Noi consideriamo un limite, ossia analizziamo l'andamento per $ x-> pi/4 $ ,e in questo caso abbiamo che:
$tgx$ : questo è ovvio, tende a $(1)$
$tg2x$ : in questo caso il valore da considerare è $pi/2$, ma , almeno è come la penso io, x tende a $pi/2$, non ha quel determinato valore. Percorriamo quindi l'asintoto della tangente, che porta a $+ oo$.
EDIT : Edito l'ultima parte in quanto il ragionamento da me effettuato non era corretto. Ringrazio il moderatore Paolo90.
Noi consideriamo un limite, ossia analizziamo l'andamento per $ x-> pi/4 $ ,e in questo caso abbiamo che:
$tgx$ : questo è ovvio, tende a $(1)$
$tg2x$ : in questo caso il valore da considerare è $pi/2$, ma , almeno è come la penso io, x tende a $pi/2$, non ha quel determinato valore. Percorriamo quindi l'asintoto della tangente, che porta a $+ oo$.
EDIT : Edito l'ultima parte in quanto il ragionamento da me effettuato non era corretto. Ringrazio il moderatore Paolo90.
"Auron":
Secondo me siamo di fronte ad una forma del tipo $1^(+oo)$ , il cui risultato è 1.
Io sapevo che $1^oo$ è indeterminata. Almeno, sarai d'accordo con me $1^oo$ non viene sempre $1$.
$lim_(x to oo) (1+1/x)^x= e$. Quindi, la tua risoluzione non è corretta.
quindi Paolo secondo te come la dovrei risolvere?
io farei due trasformazioni e un cambio:
dalla trigonometria puoi riscrivere tg2x come

poi farei la sostituzione $k=tgx$
e infine fai il procedimento dell'esponenziale come hai scritto nell'OP.
Ora provo a vedere se viene
PS: solo che mi fa e^1 come risultato che è sbagliato
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))=lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(2*(tg(x))/((1-tgx)*(1+tgx))) $
sostituzione k=tgx e giochino con exp e log
$\lim_{k \to \1}(e)^(2*k*log(k)/((1-k)*(1+k))) $
sostituzione k=a+1
$\lim_{a \to \0}(e)^(2*(a+1)*log(a+1)/((-a)*(2+a)))=e^-1 $
dalla trigonometria puoi riscrivere tg2x come

poi farei la sostituzione $k=tgx$
e infine fai il procedimento dell'esponenziale come hai scritto nell'OP.
Ora provo a vedere se viene

PS: solo che mi fa e^1 come risultato che è sbagliato

$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))=lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(2*(tg(x))/((1-tgx)*(1+tgx))) $
sostituzione k=tgx e giochino con exp e log
$\lim_{k \to \1}(e)^(2*k*log(k)/((1-k)*(1+k))) $
sostituzione k=a+1
$\lim_{a \to \0}(e)^(2*(a+1)*log(a+1)/((-a)*(2+a)))=e^-1 $
anche a me esce come il tuo ma deve dare 1 senza esponenziale
"Lory90":
Ragazzi come lo risolvo questo limite?
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))$
Io procederei usando l'esponenziale e il logaritmo ma poi non so cosa fare. Aiutatemi per favore.
Ti do uno spunto:
Effettua la sostituzione $z = (2x - pi/2)/2$ in modo da avere $ z -> 0 $
$x = (2z + pi/2)/2$
Ed applica, dopo aver utilizzato l'identità logaritmica, una delle due formule di bisezione razionali:
$tg(x/2) = ( sin(x) )/ (1 + cos(x)) = ( 1 - cos(x) )/ (sin(x))$
Sinceramente Seneca non ho capito il tuo metodo. Scusami ma non mi è chiaro. Questo a modo mio è la risoluzione:
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x)) = \lim_{x \to \pi/4}e^((tg(2x))ln(tgx)) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))(ln(tgx))/((1-tg^2(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}(e^((2tg(x)))ln(tgx)/(-((1-tg(x))(1+tg(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))/-(1+tg(x))) = e^(-1) $
i procedimenti sono tutti giusti. Qualcuno può dirmi se il limite deve dare realmente $e^(-1) $ magari andando a calcolarla con qualche programma non so.
Fatemi sapere ragazzi.
$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x)) = \lim_{x \to \pi/4}e^((tg(2x))ln(tgx)) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))(ln(tgx))/((1-tg^2(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}(e^((2tg(x)))ln(tgx)/(-((1-tg(x))(1+tg(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))/-(1+tg(x))) = e^(-1) $
i procedimenti sono tutti giusti. Qualcuno può dirmi se il limite deve dare realmente $e^(-1) $ magari andando a calcolarla con qualche programma non so.
Fatemi sapere ragazzi.
Mmmh... Lascia perdere quella strada che ti ho consigliato poco fa.
Sostituisci $ t = x - pi/4$ ( quindi $t -> 0$ ) ed applica l'identità logaritmica:
$[tan(t + pi/4)]^tan(2t + pi/2) = e^{ tan(2t + pi/2) * log [tan(t + pi/4)] }$
Inoltre sai che:
$tan( 2t + pi/2 ) = - cotg(2t) = - cos(2t)/sin(2t)$
e che:
$tan(t + pi/4) = (tan(t) + tan(pi/4))/(1 - tan(t)tan(pi/4)) = ...$
Prova a concludere tu.
Sostituisci $ t = x - pi/4$ ( quindi $t -> 0$ ) ed applica l'identità logaritmica:
$[tan(t + pi/4)]^tan(2t + pi/2) = e^{ tan(2t + pi/2) * log [tan(t + pi/4)] }$
Inoltre sai che:
$tan( 2t + pi/2 ) = - cotg(2t) = - cos(2t)/sin(2t)$
e che:
$tan(t + pi/4) = (tan(t) + tan(pi/4))/(1 - tan(t)tan(pi/4)) = ...$
Prova a concludere tu.
si è corretto e^-1 e con la pancia piena ho trovato anche il mio errore di segno in una sostituzione
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[quote=francy85]si è corretto e^-1 e con la pancia piena ho trovato anche il mio errore di segno in una sostituzione
capita di sbagliare qualche segno, anche io d'altronde l'avevo sbagliato all'inizio. però poi ripensandoci era l'unico modo non incasinato per risolverlo. Grazie comunque. Ciao

capita di sbagliare qualche segno, anche io d'altronde l'avevo sbagliato all'inizio. però poi ripensandoci era l'unico modo non incasinato per risolverlo. Grazie comunque. Ciao