Esercizio limite

[lepre561]

$lim(x=>infty) root(3)(x^3+x^2+1)-root(3)(x^3-1)$

se fosse stato con le radici quadrate non avrei avuto problemi ma il fatto che ci sono le radici cubiche che non si elidono come procedo?

[anto_zoolander]

Ricordi la scrittura $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$?

[lepre561]

si ma non vedo dove applicarla

[Zero87]

"lepre561":si ma non vedo dove applicarla

Prova a pensare a quelle due radici terze come al termine $a-b$ nella formula di cui sopra per poi moltiplicare e dividere il tutto per $a^2+ab+b^2$.

EDIT. @anto_zoolander per così poco! Va' pure, io continuo a studiare.

[anto_zoolander]

Prova a moltiplicare numeratore e denominatore per $a^2+ab+b^2$.
A numeratore avrai $a^3-b^3$ e a denominatore $a^2+ab+b^2$, poi da lì è facile.

EDIT:
@Zero: pardon a questo punto continuo a guidare

[lepre561]

quindi dovrei fare $(x^3+x^x+1)^2$ + $(x^3+x^2+1)(x^3-1)$+ $(x^3-1)^2$

[Zero87]

Ciao, vedendo che @anto_zoolander ora non c'è, cerco di riprendere il suo suggerimento.
Hai a che fare con questo limite

"lepre561":$ lim(x=>infty) root(3)(x^3+x^2+1)-root(3)(x^3-1) $

il problema è che hai una differenza di tre radici cubiche che non è di semplice trattazione. Generalmente in presenza di limiti di questo tipo si utilizza il prodotto notevole indicato anche da @anto_zoolander, che permette di far sparire le radici al numeratore e di ottenere al denominatore un termine che non reca con sé una forma indeterminata.

Se, infatti, sappiamo che $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, ponendo in quella scritta
$a=root(3)(x^3+x^2+1)$
$b=root(3)(x^3-1)$
puoi moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa quantità, ovvero il $a^2+ab+b^2$ nella formula in modo tale che al numeratore si possono togliere le radici.

Diciamo che ho "chiarito" l'idea che sta alla base del suggerimento, ora ti invito a svolgere i calcoli anche per afferrare questa idea in altre situazioni in cui ci si trova a che fare con limiti che hanno differenze o somme di radici.

Infine ti do un ultimo suggerimento visivo sulle formule. Dal momento che non c'entra nulla con l'esercizio te lo metto in spoiler.

Per quanto riguarda le formule qui, il pedice viene inserito mettendo l'underscore. In altre parole, scrivendo
"lim_(x \to oo) ..."
tra simboli di dollaro, ottieni
$lim_(x \to oo) ...$
Nel box rosa in alto quando scrivi, oltre al regolamento c'è il link relativo all'uso delle formule che contiene molti casi pracici.

[lepre561]

e quindi $a^2+ab+b^2$ sarebbe quello che ho scritto io?

[Zero87]

"lepre561":e quindi $a^2+ab+b^2$ sarebbe quello che ho scritto io?

Non esattamente perché hai delle quantità sotto radici e mancano le radici stesse. In precedenza, ricapitolando, avevo scritto

"Zero87":Se, infatti, sappiamo che $ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 $, ponendo in quella scritta
$ a=root(3)(x^3+x^2+1) $
$ b=root(3)(x^3-1) $

quindi qui

"lepre561":quindi dovrei fare $ (x^3+x^x+1)^2 $ + $ (x^3+x^2+1)(x^3-1) $+ $ (x^3-1)^2 $

manca qualcosa, cioè $\root(3)((x^3+x^x+1)^2) + \root(3)((x^3+x^2+1)(x^3-1)) + \root(3) ((x^3-1)^2)$

Moltiplicando e dividendo quella quantità per l'argomento del limite puoi riportarti al prodotto notevole di cui si è parlato in precedenza, in modo da togliere le radici.