Esercizio goniometria

[Martina_tringale03]

Come si svolge? Ci vuole anche la spiegazione passo per passo

[danyper]

Ciao Martina.
Per verificare se il triangolo ABC isoscele su AB è ottusangolo oppure acutangolo, bisogna vedere quanto vale l'angolo

[math]\gamma[/math]

.
Essendo isoscele, il triangolo ha congruenti sia i lati AC e BC che gli angoli nei vertici A e B.
Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, quindi possiamo scrivere:

[math]\alpha+\beta+\gamma=180°[/math]

ma

[math]\alpha=\beta[/math]

da cui:

[math]\gamma=180-2\alpha[/math]

Essendo noto

[math]sin\alpha[/math]

, troviamo

[math]cos\alpha[/math]

:

[math]cos\alpha=\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}}[/math]

[math]cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}[/math]

Essendo

[math]\alpha [/math]

acuto, il suo coseno è positivo.

[math]cos\alpha=\frac{4}{5}[/math]

Passiamo a

[math]cos\gamma[/math]

Usiamo le relazioni tra angoli che differiscono di 180°.

[math]cos(\gamma)=cos(180-2\alpha)[/math]

essendo infatti:

[math]cos(180-2\alpha)=-cos(2\alpha)[/math]

usando le formule di duplicazione:

[math]cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)[/math]

sostituiamo:

[math]cos(\gamma)=-(cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha))[/math]

[math]cos(\gamma)=-cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)[/math]

[math]cos(\gamma)=-(4/5)^2+(3/5)^2[/math]

[math]cos(\gamma)=-\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=-\frac{7}{25}[/math]

Quindi il triangolo è ottusangolo, perchè

[math]\gamma[/math]

ha coseno negativo.

^_^

#iorestoacasa