Esercizio geometria
Un mio amico mi ha chiesto una mano per risolvere questo esercizio:
"Dato il quadrato ABCD, di lato l, determina sul lato AB un punto P in modo che risulti:
PC^2 = kPD^2 con k>=0."
Bisogna discutere per quali k si può trovare un tale punto.
Ho chiamato x il segmento AP e con Pitagora ho tentato di esprimere l'equazione in funzione di l e x.
Si ottiene un'equazione di secondo grado in x.
Per valutare in base a quali valori di k ci sono delle soluzioni bisogna però tener conto del fatto che x è compreso tra 0 e l.
Il che rende la cosa un po' complicata.
Forse utilizzando la trigonometria o qualche proprietà geometrica si può risolvere più facilmente,
grazie a chiunque sia in grado di aiutarmi.
"Dato il quadrato ABCD, di lato l, determina sul lato AB un punto P in modo che risulti:
PC^2 = kPD^2 con k>=0."
Bisogna discutere per quali k si può trovare un tale punto.
Ho chiamato x il segmento AP e con Pitagora ho tentato di esprimere l'equazione in funzione di l e x.
Si ottiene un'equazione di secondo grado in x.
Per valutare in base a quali valori di k ci sono delle soluzioni bisogna però tener conto del fatto che x è compreso tra 0 e l.
Il che rende la cosa un po' complicata.
Forse utilizzando la trigonometria o qualche proprietà geometrica si può risolvere più facilmente,
grazie a chiunque sia in grado di aiutarmi.
Risposte
Se il punto P si trova esattamente al centro del lato AB, per cui DP e CP sono uguali, e il rapporto che dici tu vale 1.
Se il punto P coincide con A, DP=DA=l e CP=CA=Diagonale=$lsqrt2$, e quel rapporto vale 2.
Altre soluzioni per k intero, non credo che esistano
Se il punto P coincide con A, DP=DA=l e CP=CA=Diagonale=$lsqrt2$, e quel rapporto vale 2.
Altre soluzioni per k intero, non credo che esistano
Devi discutere l'equazione di 2° parametrica per vedere per quali valori di k essa assume 1 o 2 o nessuna soluzione.
Ci sono almeno sue modi:
- discussione grafica (a volte molto semplice e veloce)
- metodo di Tartenville, se ricordo bene il nome (studia il segno del Delta, del primo coefficiente, del valore dell'espressione di secondo grado nei valori limiti, ...)
Nella discussione devi considerare x compreso o uguale ai valori estremi che tu hai individuato.
P.S. La trigonometria non c'entra nulla.
Ci sono almeno sue modi:
- discussione grafica (a volte molto semplice e veloce)
- metodo di Tartenville, se ricordo bene il nome (studia il segno del Delta, del primo coefficiente, del valore dell'espressione di secondo grado nei valori limiti, ...)
Nella discussione devi considerare x compreso o uguale ai valori estremi che tu hai individuato.
P.S. La trigonometria non c'entra nulla.
Si scrive Tartinville e, ormai, lo trovi solo nei musei, o in qualche docente da museo 
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