Esercizio ellisse
Calcola per quali valori di $k$, se esistono, l'equazione $x^2/(8-k) + y^2/(2k+2) =1$ rappresenta una parabola.
L'esercizio dovrebbe essere abbastanza semplice, non so però se il procedimento a cui ho pensato sia il migliore (probabilmente no).
Dopo aver posto le condizioni di esistenza dell'equazione, considerate le equazioni delle generiche parabole con vertice nell'origine e con asse di simmetria rispettivamente l'asse $y$ e l'asse $x$, $y=ax^2$ e $x=ay^2$, pongo le equazioni:
$x^2/(8-k) + y^2/(2k+2) - 1 = y -x^2$ e $x^2/(8-k) + y^2(2k+2) - 1 = x - y^2$.
Inutile dire che così determinare $k$ verrebbe una cosa lunghissima, e quindi credo proprio ci siano metodi più efficienti, anche se non mi sono venuti in mente. Avete consigli?
L'esercizio dovrebbe essere abbastanza semplice, non so però se il procedimento a cui ho pensato sia il migliore (probabilmente no).
Dopo aver posto le condizioni di esistenza dell'equazione, considerate le equazioni delle generiche parabole con vertice nell'origine e con asse di simmetria rispettivamente l'asse $y$ e l'asse $x$, $y=ax^2$ e $x=ay^2$, pongo le equazioni:
$x^2/(8-k) + y^2/(2k+2) - 1 = y -x^2$ e $x^2/(8-k) + y^2(2k+2) - 1 = x - y^2$.
Inutile dire che così determinare $k$ verrebbe una cosa lunghissima, e quindi credo proprio ci siano metodi più efficienti, anche se non mi sono venuti in mente. Avete consigli?
Risposte
Non riesco proprio a immaginare in qual modo, giocando su $k$, si possa far scomparire, per es. $y^2$ e far comparire $y$...
Sono anche io in attesa di contributi illuminanti... a meno che la risposta, come mi verrebbe da dire sia "non ci sono valori di k adatti". Dopo tutto, esclusi i valori $k=8$ e $k=-1$, tutti gli altri mi pare producano ellissi, se i denominatori hanno lo stesso segno, o iperboli in caso contrario...
Sono anche io in attesa di contributi illuminanti... a meno che la risposta, come mi verrebbe da dire sia "non ci sono valori di k adatti". Dopo tutto, esclusi i valori $k=8$ e $k=-1$, tutti gli altri mi pare producano ellissi, se i denominatori hanno lo stesso segno, o iperboli in caso contrario...
Infatti la soluzione è proprio che non esistono valori di $k$. Volevo arrivarci analiticamente, ma a questo punto credo che il problema si risolva 'intuitivamente'...
Mi pare che ci sia un problema di fondo nella soluzione di questo esercizio, cioè la convinzione che le parabole abbiano tutte equazioni del tipo $y=ax^2$ o $x=ay^2$, mentre ci sono anche parabole trasverse come $x^2+2xy+y^2+x-y=0$.
La soluzione mi pare possa essere dedotta dalle affermazioni di mgrau: ci sono due valori di $k$ per cui l'esercizio non esiste, negli altri casi si ottengono ellissi e iperboli, quindi è impossibile che la curva sia una parabola.
La soluzione mi pare possa essere dedotta dalle affermazioni di mgrau: ci sono due valori di $k$ per cui l'esercizio non esiste, negli altri casi si ottengono ellissi e iperboli, quindi è impossibile che la curva sia una parabola.
"@melia":
Mi pare che ci sia un problema di fondo nella soluzione di questo esercizio, cioè la convinzione che le parabole abbiano tutte equazioni del tipo $y=ax^2$ o $x=ay^2$, mentre ci sono anche parabole trasverse come $x^2+2xy+y^2+x-y=0$.
La soluzione mi pare possa essere dedotta dalle affermazioni di mgrau: ci sono due valori di $k$ per cui l'esercizio non esiste, negli altri casi si ottengono ellissi e iperboli, quindi è impossibile che la curva sia una parabola.
Ammetto di non aver mai lavorato con le parabole che hai indicato; in effetti mi sono sempre chiesto che equazione avessero...
Comunque, giusto per mettere i puntini sulle i, per k=2 si ha anche una circonferenza.
"HowardRoark":
Comunque, giusto per mettere i puntini sulle i, per k=2 si ha anche una circonferenza.
Allora continuiamo con i puntini... una circonferenza E' una ellisse
Vero...
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