Esercizio Ellisse
Salve, riporto testualmente dal libro un esercizio che non riesco a svolgere:
Scrivi l'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse x, passante per il punto P(2,1), sapendo che in tale punto la tangente all'ellisse è parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Detto A il punto di intersezione dell'ellisse con il semiasse positivo delle y, determina i vertici del triangolo equilatero ABC, inscritto nell'ellisse.
Se possono servire metto anche le soluzioni:
$x^2/6+y^2/3=1 ; A(0, sqrt3 ), B(-12/7, -5(sqrt3)/7) , C(12/7, -[5(sqrt3)]/7)$
Ho cercato di trovare (in parte) l'equazione della tangente con la formula di sdoppiamento:
$(x*x_0)/a^2+(y*y_0)/b^2=1$ quindi $(2x)/a^2+(y)/b^2=1$
Da quì,poi, ho fatto svariati tentativi ma sostanzialmente non riesco a procedere.
Grazie anticipatamente.
Scrivi l'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse x, passante per il punto P(2,1), sapendo che in tale punto la tangente all'ellisse è parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Detto A il punto di intersezione dell'ellisse con il semiasse positivo delle y, determina i vertici del triangolo equilatero ABC, inscritto nell'ellisse.
Se possono servire metto anche le soluzioni:
$x^2/6+y^2/3=1 ; A(0, sqrt3 ), B(-12/7, -5(sqrt3)/7) , C(12/7, -[5(sqrt3)]/7)$
Ho cercato di trovare (in parte) l'equazione della tangente con la formula di sdoppiamento:
$(x*x_0)/a^2+(y*y_0)/b^2=1$ quindi $(2x)/a^2+(y)/b^2=1$
Da quì,poi, ho fatto svariati tentativi ma sostanzialmente non riesco a procedere.
Grazie anticipatamente.
Risposte
$a^2$ e $b^2$ si ottengono imponendo che $P$ appartenga all'ellisse e che il coefficiente angolare della tangente sia uguale a $-1$(coefficiente angolare della retta $y=-x$)
Risolto
Allora anzitutto la ellisse si scrive
$ (x^2/a^2) + (y^2/b^2) =1 $
imponi il passaggio per P e ottieni
$ (4/a^2) + (1/b^2) =1 $
da cui ricavi
$ (1/b^2) =1 - (4/a^2) $
ora trova la retta di cui si parla... è parallela alla bisettrice 2/4 quadrante quindi avrà coefficiente angolare -1 e sarà del tipo
$ y = -x + q $
e imponi anche per lei il passaggio per P ottieni
$ y = -x + 3 $
ora prendi la tua ellisse e sostituisci la terza equazione che ho scritto nella prima ottieni
$ (x^2/a^2) + y^2 (1-(4/a^2)) =1 $
ora attenzione!! il ragionamento importante da capire che ti servirà nella tua vita di matematico è questo: se ellisse e retta sono tangenti allora hanno UN SOLO punto in comune quindi sostituendo la y della retta nella y della ellisse andrò a imporre che ci sia una sola soluzione!!
Allora sostituendo la y della retta nella ellisse abbiamo
$ (x^2/a^2) + (3-x)^2 (1-(4/a^2)) =1 $
vai avanti da solo nei passaggi che sono difficilotti e ottieni una equazione di secondo grado in x che contiene il parametro a. Te la scrivo, ottieni questa:
$ x^2 (a^2 -3) + 6x (4-a^2) + 8a^2 - 36 = 0 $
Ora cerchi le due soluzioni con la solita formula MA IMPONI il $ delta = 0 $ perchè la soluzione deve essere unica.
Ottieni una facilissima equazione di 4 grado in a
$ a^4 - 12 a^2 +36 =0 $
la risolvi in due secondi e ti da
$ a^2= 6 $
da cui ottieni subito la b ($ b^2 = 3 $) e la equazione della tua ellisse
il resto è semplice
trovi subito la intersezione dell'ellisse con asse y quindi
$ A (0, sqrt 3) $
poi chiami $ B (-x_0,y_0) $ e $ C (x_0, y_0) $
e imponi che le distanze AB, AC e BC siano uguali e ti trovi i valori $x_0 y_0 $ corrispondenti
tutto chiaro? se hai dubbi scrivi
Allora anzitutto la ellisse si scrive
$ (x^2/a^2) + (y^2/b^2) =1 $
imponi il passaggio per P e ottieni
$ (4/a^2) + (1/b^2) =1 $
da cui ricavi
$ (1/b^2) =1 - (4/a^2) $
ora trova la retta di cui si parla... è parallela alla bisettrice 2/4 quadrante quindi avrà coefficiente angolare -1 e sarà del tipo
$ y = -x + q $
e imponi anche per lei il passaggio per P ottieni
$ y = -x + 3 $
ora prendi la tua ellisse e sostituisci la terza equazione che ho scritto nella prima ottieni
$ (x^2/a^2) + y^2 (1-(4/a^2)) =1 $
ora attenzione!! il ragionamento importante da capire che ti servirà nella tua vita di matematico è questo: se ellisse e retta sono tangenti allora hanno UN SOLO punto in comune quindi sostituendo la y della retta nella y della ellisse andrò a imporre che ci sia una sola soluzione!!
Allora sostituendo la y della retta nella ellisse abbiamo
$ (x^2/a^2) + (3-x)^2 (1-(4/a^2)) =1 $
vai avanti da solo nei passaggi che sono difficilotti e ottieni una equazione di secondo grado in x che contiene il parametro a. Te la scrivo, ottieni questa:
$ x^2 (a^2 -3) + 6x (4-a^2) + 8a^2 - 36 = 0 $
Ora cerchi le due soluzioni con la solita formula MA IMPONI il $ delta = 0 $ perchè la soluzione deve essere unica.
Ottieni una facilissima equazione di 4 grado in a
$ a^4 - 12 a^2 +36 =0 $
la risolvi in due secondi e ti da
$ a^2= 6 $
da cui ottieni subito la b ($ b^2 = 3 $) e la equazione della tua ellisse
il resto è semplice
trovi subito la intersezione dell'ellisse con asse y quindi
$ A (0, sqrt 3) $
poi chiami $ B (-x_0,y_0) $ e $ C (x_0, y_0) $
e imponi che le distanze AB, AC e BC siano uguali e ti trovi i valori $x_0 y_0 $ corrispondenti
tutto chiaro? se hai dubbi scrivi
a dire il vero,imponendo il passaggio per $P$ ed applicando la formula di sdoppiamento esplicitando l'equazione della tangente rispetto ad $y$,basta risolvere il sistema
$ 4/a^2+1/b^2=1 $
$ -(2b^2 )/a^2=-1 $
$ 4/a^2+1/b^2=1 $
$ -(2b^2 )/a^2=-1 $
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