Esercizio disequazione logaritmica con elevamento a potenza
Ciao,
come consigliato da alcuni membri del forum, mi sono preso del tempo per rivedere determinati argomenti.
Sono alle prese con il seguente esercizio:
\(\displaystyle ln^3 (x) - 2 ln(x) >= 0 \)
La soluzione è:
\(\displaystyle e^-\sqrt {2} <= x < = 1 \) V \(\displaystyle x>=e^\sqrt{2} \)
La prima condizione del sistema è: x > 0
Poniamo \(\displaystyle ln (x) = t \)
La disequazione diventa:
\(\displaystyle (t^3 - t^2) >=0 \)
scomponiamo il polinomio come segue:
\(\displaystyle t*(t^2 - t) >=0 \)
Le condizioni sono:
\(\displaystyle t >=0 \) e \(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \)
1) \(\displaystyle t >=0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) >=0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) >= e^0 \) ovvero x>=1
Il sistema
2) \(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \)
In questo caso trattasi di una disequazione di secondo grado.
\(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \) ovvero \(\displaystyle (t^2 - t) >=1 \) perché ln e^0 = 1
I risultati della disequazione 2) sono: \(\displaystyle t1 = 1 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) = ln (e) \) ovvero \(\displaystyle x = e \) quindi x>=e
e \(\displaystyle t2 = 0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) <=0 \) ovvero x<=1
La soluzione della disequazione in questo caso è x>=1. Dove sbaglio?
Grazie anticipatamente
come consigliato da alcuni membri del forum, mi sono preso del tempo per rivedere determinati argomenti.
Sono alle prese con il seguente esercizio:
\(\displaystyle ln^3 (x) - 2 ln(x) >= 0 \)
La soluzione è:
\(\displaystyle e^-\sqrt {2} <= x < = 1 \) V \(\displaystyle x>=e^\sqrt{2} \)
La prima condizione del sistema è: x > 0
Poniamo \(\displaystyle ln (x) = t \)
La disequazione diventa:
\(\displaystyle (t^3 - t^2) >=0 \)
scomponiamo il polinomio come segue:
\(\displaystyle t*(t^2 - t) >=0 \)
Le condizioni sono:
\(\displaystyle t >=0 \) e \(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \)
1) \(\displaystyle t >=0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) >=0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) >= e^0 \) ovvero x>=1
Il sistema
2) \(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \)
In questo caso trattasi di una disequazione di secondo grado.
\(\displaystyle (t^2 - t) >=0 \) ovvero \(\displaystyle (t^2 - t) >=1 \) perché ln e^0 = 1
I risultati della disequazione 2) sono: \(\displaystyle t1 = 1 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) = ln (e) \) ovvero \(\displaystyle x = e \) quindi x>=e
e \(\displaystyle t2 = 0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) <=0 \) ovvero x<=1
La soluzione della disequazione in questo caso è x>=1. Dove sbaglio?
Grazie anticipatamente
Risposte
Qui $t^3-t^2>=0$ mentre è $t^3-2t>=0$
Ecco l'errore! Dovevo sostituire direttamente senza prima applicare la proprietà dei logaritmi! Riprovo
"giamar":
Dovevo sostituire direttamente senza prima applicare la proprietà dei logaritmi!
questa frase mi fa paura....mica penserai davvero che $2ln(x)=ln^2(x)$...spero
Beh, quello lo ha già fatto quindi, eventualmente, farà un errore diverso 
Dopo aver messo a letto i bimbi, grazie alle vostre segnalazioni/consigli posso postare il nuovo svolgimento
Devo ammettere che consideravo erroneamente \(\displaystyle 2 ln (x) = ln^2(x) \) $>=$0.
Svolgimento:
\(\displaystyle ln^3(x) - 2 ln(x) \) $>=$0
Innanzitutto bisogna porre come condizione x > 0
Dopodiché applicare la seguente sostituzione: \(\displaystyle ln(x) = t \)
\(\displaystyle t^3 - 2 t \) $>=$0
Scomponiamo il polinomio: \(\displaystyle t (t^2 - 2) \) $>=$0
Analizziamo i 2 membri della disequazione:
1) \(\displaystyle t \geq 0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) \) $>=$0 ovvero x $>=$1
2) \(\displaystyle t^2 -2 \) $>=$0 ovvero \(\displaystyle t^2 \) $>=$2 ovvero \(\displaystyle t \geq \sqrt{2} \) V \(\displaystyle t \leq - \sqrt{2} \) ovvero \(\displaystyle x \geq e^\sqrt{2} \)
Attenzione: l’elevamento al quadrato implica anche la soluzione negativa. Quindi:
\(\displaystyle t \leq - \sqrt{2} \) ovvero \(\displaystyle ln(x) \leq - \sqrt{2} \) questo è un ulteriore sistema di disequazione. Mettiamo a condizioni:
1. \(\displaystyle \geq0 \)
2. \(\displaystyle ln(x) \leq -\sqrt{2} \)
Il sistema negativo viene soddisfatto per x < 0 V \(\displaystyle X \geq e^-\sqrt{2} \)
Le condizioni per disegnare il sistema iniziale $>=$0 sono le seguenti:
1) x > 0
2) x $>=$1
3) \(\displaystyle x\geq e^\sqrt{2} \)
4) \(\displaystyle x \geq e^-\sqrt{2} \)
5) x < 0
Il risultato che soddisfa la condizione di $>=$0 è quindi \(\displaystyle e^-\sqrt{2} \) $<=$x$<=$1 V x$>=$ \(\displaystyle e^\sqrt{2}\)
Grazie di nuovo a tutti
Devo ammettere che consideravo erroneamente \(\displaystyle 2 ln (x) = ln^2(x) \) $>=$0.
Svolgimento:
\(\displaystyle ln^3(x) - 2 ln(x) \) $>=$0
Innanzitutto bisogna porre come condizione x > 0
Dopodiché applicare la seguente sostituzione: \(\displaystyle ln(x) = t \)
\(\displaystyle t^3 - 2 t \) $>=$0
Scomponiamo il polinomio: \(\displaystyle t (t^2 - 2) \) $>=$0
Analizziamo i 2 membri della disequazione:
1) \(\displaystyle t \geq 0 \) ovvero \(\displaystyle ln(x) \) $>=$0 ovvero x $>=$1
2) \(\displaystyle t^2 -2 \) $>=$0 ovvero \(\displaystyle t^2 \) $>=$2 ovvero \(\displaystyle t \geq \sqrt{2} \) V \(\displaystyle t \leq - \sqrt{2} \) ovvero \(\displaystyle x \geq e^\sqrt{2} \)
Attenzione: l’elevamento al quadrato implica anche la soluzione negativa. Quindi:
\(\displaystyle t \leq - \sqrt{2} \) ovvero \(\displaystyle ln(x) \leq - \sqrt{2} \) questo è un ulteriore sistema di disequazione. Mettiamo a condizioni:
1. \(\displaystyle \geq0 \)
2. \(\displaystyle ln(x) \leq -\sqrt{2} \)
Il sistema negativo viene soddisfatto per x < 0 V \(\displaystyle X \geq e^-\sqrt{2} \)
Le condizioni per disegnare il sistema iniziale $>=$0 sono le seguenti:
1) x > 0
2) x $>=$1
3) \(\displaystyle x\geq e^\sqrt{2} \)
4) \(\displaystyle x \geq e^-\sqrt{2} \)
5) x < 0
Il risultato che soddisfa la condizione di $>=$0 è quindi \(\displaystyle e^-\sqrt{2} \) $<=$x$<=$1 V x$>=$ \(\displaystyle e^\sqrt{2}\)
Grazie di nuovo a tutti
La soluzione è scritta malissimo 
Riscrivila, dai …
Tra l'altro, il "maggiore o uguale" lo scrivo così $>=$
Riscrivila, dai …
Tra l'altro, il "maggiore o uguale" lo scrivo così $>=$
Modifica al post effettuata! 
Si può fare di meglio 
[size=150]$e^(-sqrt{2})<=x<=1 vv e^(sqrt{2})<=x$[/size]
[size=150]$e^(-sqrt{2})<=x<=1 vv e^(sqrt{2})<=x$[/size]
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