Esercizio Disequazione frazionaria

[Akillez]

Ciao a tutti ragazzi ero a fare questa disequazione fratta ma il risultato che torna è diverso rispetto al libro

$|(3x+1)/(x-1) - 7| < epsilon $

Svolgimento:
$|(3x+1-7x+7)/(x-1)| $|(-4x+8 )/(x-1)| ${(-4x+8 )/(x-1) -epsilon$

Svolgo $(-4x+8 )/(x-1) $(-4x+8-epsilon(x-1) )/(x-1) $(-4x+8-epsilonx-epsilon )/(x-1) $(x(-4-epsilon) +8+epsilon )/(x-1)
N: $x>(-8-epsilon)/(-4-epsilon)$
D: $x>1$

--------1----------- $(-8-epsilon)/(-4-epsilon)$
| |
..........|........................|_______________________________
..........|______________________________________________

S1=$(1;(-8-epsilon)/(-4-epsilon))$

Svolgo $(-4x+8 )/(x-1)> -epsilon$
$(-4x+8+epsilon(x-1) )/(x-1) $(-4x+8+epsilonx+epsilon )/(x-1) $(x(-4+epsilon)+8+epsilon )/(x-1)
N: $x>(+8+epsilon)/(+4-epsilon)$
D: $x>1$

---$(+8+epsilon)/(-4+epsilon)$-----1
| |
..........................|........................|_______________________________
..........................|______________________________________________


S2=$(-oo;(+8+epsilon)/(+4-epsilon))U(1;+oo)$


In entrambe ho fatto l'intersezione quindi la S=$s1nns2$

l'ultimo grafico l'ho omesso perchè non vieni bene a video

S= $(1;((+8-epsilon)/(+4-epsilon)))$

a me viene questa soluzione.


Un ultima cosa questa: $(-8-epsilon)/(-4-epsilon)$ è la stessa di questa $(+8-epsilon)/(+4-epsilon)$

[giuseppe87x]

Hai sbagliato in entrambi i casi le moltiplicazioni al numeratore per $\epsilon$. E poi perchè nel secondo caso cambi il verso della disuguaglianza quando trasporti $\epsilon$ al primo membro?

[Akillez]

già nel secondo caso è sbagliato.
Ma nel primo mi sembra di aver fatto giusto

Ma come faresti?

scusa se ti stresso ma ci sto lavorando sopra da un pò

[Sk_Anonymous]

Vi sono errori di calcolo ,fra i quali quello piu' pesante e' non tener conto
del segno del coefficiente di x.
Ecco il procedimento:

A)$(-4x+8 )/(x-1)> -epsilon ->(-4x+8+epsilonx-epsilon)/(x-1)>0->((-4+epsilon)x+8-epsilon)/(x-1)>0$
Ora per $epsilon$ sufficientemente piccolo il coefficiente di x a numeratore e' negativo e quindi conviene cambiare segno:
$((4-epsilon)x-8+epsilon)/(x-1)<0$
che risolta da' : $1

B))$(-4x+8 )/(x-1)< epsilon ->(-4x+8-epsilonx+epsilon)/(x-1)<0->((-4-epsilon)x+8+epsilon)/(x-1)<0$
Anche qui' il coefficiente di x a numeratore e' negativo e quindi conviene cambiare segno:
$((4+epsilon)x-8-epsilon)/(x-1)>0$
che risolta da' : $x<1$ oppure $ x>(8+epsilon)/(4+epsilon)$
Mettendo insieme le due soluzione si trova che la disequazione iniziale e' risolta per:
$(8+epsilon)/(4+epsilon)
Che la soluzione sia esatta lo si vede dal fatto che essa corrisponde effettivamente
ad un intorno di 2.
Archimede.

[Akillez]

Grazie mille archimede, sei stato un amico.
Ma una cosa non ho ben chiara, ma una volta che trovo le 2 soluzioni essendo che la disequazione iniziale è con il < devo fare le intersezioni per trovare l'intersezione finale? perchè non mi viene niente... io ho fatto così:


.............1...................$(8-epsilon)/(4-epsilon)$.........................................................$(8+epsilon)/(4+epsilon)$
.............|_____________|..............................................................|...............................
________|.....................................................................................|__________________

come si prendono i valori?

[Sk_Anonymous]

Devi tener presente che per $epsilon>0$ risulta:
$(8+epsilon)/(4+epsilon)<(8-epsilon)/(4-epsilon)$ !!
Ciao.
Archimede.

[Akillez]

"archimede":Devi tener presente che per $epsilon>0$ risulta:
$(8+epsilon)/(4+epsilon)<(8-epsilon)/(4-epsilon)$ !!
Ciao.
Archimede.

Ecco Ora mi torna.
Grazie mille per il contributo e invidio molto il suo cervello che devo dire è assai fine.

.............1...................$(8+epsilon)/(4+epsilon)$.........................................................$(8-epsilon)/(4-epsilon)$
.............|______________________________________________________________|..................................................
________|.....................|______________________________________________________________________________________

[Sk_Anonymous]

"il suo "?
Sono emozionato:e' la prima volta che mi sento dare del lei su questo forum!
Ciao.
Archimede

[Akillez]

"archimede":"il suo "?
Sono emozionato:e' la prima volta che mi sento dare del lei su questo forum!
Ciao.
Archimede