Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

[scarsoalcubo]

Ciao a tutti, è il primo esercizio di questo tipo che affronto e vorrei sapere se è giusto.
Se è sbagliato, vorrei conoscere le motivazioni per capire meglio questo tipo di esercizi.

Grazie anticipatamente.

Traccia:
$ X $ , $ Y $ insiemi
$ X\\(X∩Y) = X\\Y $

Svolgimento:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y ∧ x∉ Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $

[marco2132k]

Nello "svolgimento" non si capisce che cosa tu intenda con la prima e la terza riga. Sarebbe meglio se scrivessi anche qualche parola, piuttosto che un muro di soli simboli. Credo che alla terza riga ci sia solo una svista (hai scritto ancora che \( x\not\in X\cap Y \)).

Sì comunque, in ogni caso dovrebbe essere \[
\begin{split}
x\in X\setminus(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
&\Leftrightarrow x \in X\land\neg\left(x\in X\land x\in Y\right)\\
&\Leftrightarrow x\in X\land\left(x\not\in X\lor x\not\in Y\right)\qquad\qquad\text{(*)}
\end{split}
\] e allora hai la conclusione perché \( x \) soddisfa a (*) se e solo se appartiene al complementare per \( X \) di \( Y \).

[axpgn]

Scusa Marco ma questa

"marco2132k":\begin{split}
x\in(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
\end{split}

non mi pare corretta …

[marco2132k]

Ho corretto, grazie @axpgn!

[scarsoalcubo]

In effetti la prima riga è un mio errore.
Alla terza riga anche, ho ripetuto che $ x∉ X∩Y $ .

Comunque, ho sbagliato praticamente tutto e la soluzione da voi postata è quella corretta? Oppure a parte la svista della terza riga anche la mia dimostrazione è giusta?

[marco2132k]

Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).

[scarsoalcubo]

"marco2132k":Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).

Esattamente, con la prima riga intendo proprio questo...
Alla terza riga, è inutile ripetere che $ x ∉ X ∩ Y $ , non solo perchè l'ho già scritto alla seconda riga, ma anche perchè l'intersezione è anche un sottoinsieme di $Y$, quindi come ho scritto alla quarta riga, basta dire che $ x∈X ∧ x∉ Y $ , per spiegare che gli elementi appartengono soltanto all'insieme $X$ e non ad $Y$ o all'intersezione. E' giusto?

Quindi alla fine, correggendo, verrebbe:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $

[marco2132k]

Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).

[scarsoalcubo]

"marco2132k":Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).

Ho capito, davvero grazie infinitamente per la disponibilità!