[Esercizio] Dimostrazione che zero divide zero.
Propongo un esercizio, semplice semplice, che ad un primo sguardo può sembrare un'assurdità.
1) Se \( 0 \mid n \) dimostra che \(n = 0 \). Detto in altre parole dimostrare che \(0\) divide solamente \(0\).
2) In 1) abbiamo dimostrato che \(0 \mid 0 \), perché allora, secondo voi, la divisione \( \frac{0}{0} \) non è definita?
1) Se \( 0 \mid n \) dimostra che \(n = 0 \). Detto in altre parole dimostrare che \(0\) divide solamente \(0\).
2) In 1) abbiamo dimostrato che \(0 \mid 0 \), perché allora, secondo voi, la divisione \( \frac{0}{0} \) non è definita?
Risposte
Premettendo che non è ben chiaro come il primo punto possa dirsi verificato, provo comunque a rispondere al secondo. Mi scuso in anticipo se mi è sfuggito qualcosa nella comprensione di quello che hai proposto (in questo potresi magari rispiegarlo?).
Il ragionamento è il seguente: se si definisce la divisione come l'operazione inversa della moltiplicazione, deve essere che $6:3=2$ perché $3\cdot 2=6$, che $21:3=7$ perché $7\cdot 3=21$, ecc.
Data la divisione $0:a$, dove $a\in\mathbb{R}-\{0\}$, questa deve avere risultato uguale $0$, perché $0$ è l'unico numero tale che $0\cdot a=0$.
Si consideri ora la divisione $0:0$: potremmo azzardare a dire che il risultato di questa divisione, per quanto detto prima, sia $0$, il che risulta anche vero, visto che $0\cdot 0=0$. Un'analisi più attenta suggerisce però che che esistono infiniti risultati: potrebbe essere $1$, dato che $1\cdot0=0$, ma anche $\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$, $\pi$, ecc. In generale, quindi, qualsiasi numero potrebbe essere il risultato di quella divisione.
Il punto è che $\frac{0}{0}$ non è che non viene definita, visto che si possono attribuire ad essa tanti risultati ragionevoli, ma che è indeterminata, cioè per essa ci sono più risultati possibili.
La forma $\frac{a}{0}$, dove $a\ne0$, non viene definita, perché ad essa non è possibile associare nessun risultato ragionevole: non esiste infatti nessun numero che moltiplicato per $0$ dia come risultato un numero diverso da $0$
Il ragionamento è il seguente: se si definisce la divisione come l'operazione inversa della moltiplicazione, deve essere che $6:3=2$ perché $3\cdot 2=6$, che $21:3=7$ perché $7\cdot 3=21$, ecc.
Data la divisione $0:a$, dove $a\in\mathbb{R}-\{0\}$, questa deve avere risultato uguale $0$, perché $0$ è l'unico numero tale che $0\cdot a=0$.
Si consideri ora la divisione $0:0$: potremmo azzardare a dire che il risultato di questa divisione, per quanto detto prima, sia $0$, il che risulta anche vero, visto che $0\cdot 0=0$. Un'analisi più attenta suggerisce però che che esistono infiniti risultati: potrebbe essere $1$, dato che $1\cdot0=0$, ma anche $\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$, $\pi$, ecc. In generale, quindi, qualsiasi numero potrebbe essere il risultato di quella divisione.
Il punto è che $\frac{0}{0}$ non è che non viene definita, visto che si possono attribuire ad essa tanti risultati ragionevoli, ma che è indeterminata, cioè per essa ci sono più risultati possibili.
La forma $\frac{a}{0}$, dove $a\ne0$, non viene definita, perché ad essa non è possibile associare nessun risultato ragionevole: non esiste infatti nessun numero che moltiplicato per $0$ dia come risultato un numero diverso da $0$
1. La relazione di divisibilità $|$ in uno degli insiemi numerici $X$ cui si lavora di solito alle superiori (i.e., $NN$, $ZZ$, $QQ$ o $RR$) è definita come segue:
Dunque asserire che $0|n$ equivale a dire che esiste almeno un $q in X$ tale che $n=q*0$; d'altra parte, visto che $q*0=0$ in ognuno degli usuali insiemi numerici $X$, abbiamo:
$0|n \ =>\ n=0$.
2. Il simbolo $n/m$ può denotare due cose (che, poi, sono la stessa cosa...): a) l'unico oggetto (se esiste) che moltiplicato per $m$ dà $n$ o b) il prodotto di $n$ con l'unico reciproco (se esiste) di $m$.
In entrambi i casi, cioè qualunque dei due significati conveniamo di attribuire al simbolo, il simbolo non è definibile poiché in nessun caso esiste un elemento $q in X$ tale che $q*0 = n$ (significato a) o, in particolare, che $q*0=1$ (significato b).
@ Gulleri: Non mi trovo d'accordo sul fatto che a $0/0$ si possano attribuire significati ragionevoli... Mi faresti un esempio?
$m|n$ se e solo se esiste almeno un $q in X$ tale che $n=q*m$.[nota]Si può vedere che la relazione $|$ dà informazioni non banali solo se la si considera in $NN$ od in $ZZ$.[/nota]
Dunque asserire che $0|n$ equivale a dire che esiste almeno un $q in X$ tale che $n=q*0$; d'altra parte, visto che $q*0=0$ in ognuno degli usuali insiemi numerici $X$, abbiamo:
$0|n \ =>\ n=0$.
2. Il simbolo $n/m$ può denotare due cose (che, poi, sono la stessa cosa...): a) l'unico oggetto (se esiste) che moltiplicato per $m$ dà $n$ o b) il prodotto di $n$ con l'unico reciproco (se esiste) di $m$.
In entrambi i casi, cioè qualunque dei due significati conveniamo di attribuire al simbolo, il simbolo non è definibile poiché in nessun caso esiste un elemento $q in X$ tale che $q*0 = n$ (significato a) o, in particolare, che $q*0=1$ (significato b).
@ Gulleri: Non mi trovo d'accordo sul fatto che a $0/0$ si possano attribuire significati ragionevoli... Mi faresti un esempio?
Mi erano sfuggite le risposte, scusate!
Esatto
Esatto!
Il punto invece è proprio che tu puoi definire la divisione (non la relazione di dividere) solo se hai un'unica "scelta". Guarda la risposta di gugo.
Se \( m \mid n \) e \( m \neq 0 \) allora puoi definire la divisione \( \frac{n}{m} \), assegnandoli quell'unico valore \(q\) che tale per cui risulta che \(n=q \cdot m \). Quindi \( \frac{n}{0} \), con \(n \neq 0 \), è impossibile, che è diverso dal dire che non è definita, perché abbiamo dimostrato che se \( 0 \mid n \) allora \( n = 0 \). O in alternativa perché non esiste nessun valore \(q\) tale per cui \( n = q \cdot 0 \).
Mentre per quanto riguarda \( \frac{0}{0} \), sebbene abbiamo effettivamente che \(0 \mid 0 \) non è possibile assegnare un valore a \( \frac{0}{0} \) che abbia un senso, perché tutti i valori \(q\) soddisfano \( 0=q \cdot 0 \), quindi non puoi definire un oggetto che sia sensato. Dunque non è definita o indeterminata, che vogliono dire la stessa cosa.
"gugo82":
1. La relazione di divisibilità $|$ in uno degli insiemi numerici $X$ cui si lavora di solito alle superiori (i.e., $NN$, $ZZ$, $QQ$ o $RR$) è definita come segue:
$m|n$ se e solo se esiste almeno un $q in X$ tale che $n=q*m$.[nota]Si può vedere che la relazione $|$ dà informazioni non banali solo se la si considera in $NN$ od in $ZZ$.[/nota]
Dunque asserire che $0|n$ equivale a dire che esiste almeno un $q in X$ tale che $n=q*0$; d'altra parte, visto che $q*0=0$ in ognuno degli usuali insiemi numerici $X$, abbiamo:
$0|n \ =>\ n=0$.
Esatto
"gugo82":
2. Il simbolo $n/m$ può denotare due cose (che, poi, sono la stessa cosa...): a) l'unico oggetto (se esiste) che moltiplicato per $m$ dà $n$ o b) il prodotto di $n$ con l'unico reciproco (se esiste) di $m$.
In entrambi i casi, cioè qualunque dei due significati conveniamo di attribuire al simbolo, il simbolo non è definibile poiché in nessun caso esiste un elemento $q in X$ tale che $q*0 = n$ (significato a) o, in particolare, che $q*0=1$ (significato b).
Esatto!
"Gulleri":
Il punto è che $ \frac{0}{0} $ non è che non viene definita, visto che si possono attribuire ad essa tanti risultati ragionevoli, ma che è indeterminata, cioè per essa ci sono più risultati possibili.
"Gulleri":
La forma $ \frac{a}{0} $, dove $ a\ne0 $, non viene definita, perché ad essa non è possibile associare nessun risultato ragionevole
Il punto invece è proprio che tu puoi definire la divisione (non la relazione di dividere) solo se hai un'unica "scelta". Guarda la risposta di gugo.
Se \( m \mid n \) e \( m \neq 0 \) allora puoi definire la divisione \( \frac{n}{m} \), assegnandoli quell'unico valore \(q\) che tale per cui risulta che \(n=q \cdot m \). Quindi \( \frac{n}{0} \), con \(n \neq 0 \), è impossibile, che è diverso dal dire che non è definita, perché abbiamo dimostrato che se \( 0 \mid n \) allora \( n = 0 \). O in alternativa perché non esiste nessun valore \(q\) tale per cui \( n = q \cdot 0 \).
Mentre per quanto riguarda \( \frac{0}{0} \), sebbene abbiamo effettivamente che \(0 \mid 0 \) non è possibile assegnare un valore a \( \frac{0}{0} \) che abbia un senso, perché tutti i valori \(q\) soddisfano \( 0=q \cdot 0 \), quindi non puoi definire un oggetto che sia sensato. Dunque non è definita o indeterminata, che vogliono dire la stessa cosa.
Ora che ho letto le risposte mi accorgo di aver mal interpretato l'esercizio e che era richiesto un livello ben più alto di quanto pensassi. Mi scuso per aver dato una risposta forse un po' troppo banale e scontata e che non rispondeva affatto a ciò che richiedeva l'esercizio.
@gugo82 sono d'accordo con te, cercavo di marcare le differenze tra il caso $\frac{0}{0}$ e $\frac{a}{0}$ e nel farlo ho scritto ho usato parole non corrette. Mi scuso ancora!
@gugo82 sono d'accordo con te, cercavo di marcare le differenze tra il caso $\frac{0}{0}$ e $\frac{a}{0}$ e nel farlo ho scritto ho usato parole non corrette. Mi scuso ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo