Esercizio di verifica del limite

[jacopochimienti1154]

Salve, svolgo una serie di esercizi di dimostrazione dei limiti verificando gl'intorni dei risultati.
Quando ho:

$lim_(x->+infty)sqrt(2x^2+1)-x=+infty$

So che per la definizione di limite infinito per $x$ che tende a infinto, assegnato un $M>0$ devo trovare e verificare un intorno di infinito.
Nell'esercizio in questione devo valutare:

$f(x)>M$ e ricavare un intorno nella forma $(M;+infty)$

Non riesco a elaborare la soluzione a causa del radicale al primo membro. Ho provato a svolgerla seguendo queste strade:

$sqrt(sqrt(2x^2+1)-x)=sqrt(M)$
e anche
$(sqrt(2x^2+1)-x)^2=M^2$

ma senza ottenere il risultato del testo, voi come svolgereste?

[@melia]

$(sqrt(2x^2+1))^2=(M+x)^2$

[jacopochimienti1154]

Svolgendo ricavo:
$(sqrt(2x^2+1))^2>(M+x)^2$
$2x^2+1>M^2+2Mx+x^2$
$x^2>M^2+2Mx-1$
$x>sqrt(M^2+2Mx-1)$
che, correggetemi se sbaglio non è un risultato corretto, poiché ho bisogno di un intorno solo in funzione di $M$.

Il mio testo esibisce un risultato che ha questa forma:
$(M+sqrt(2M^2-1);+infty)$

[@melia]

Ma secondo te una disequazione di secondo grado si risolve in questo modo? Secondo il criterio da te adottato la disequazione $x^2-5x+6>0$ si risolverebbe ponendo $x>sqrt(5x-6)$. Ti pare un buon metodo di soluzione? Perché se risolvi così le disequazioni di secondo grado ti conviene prendere un buon libro di seconda e fare un veloce ripasso. Oppure porti tutto a primo membro, risolvi l'equazione associata e poi valori esterni o valori interni a seconda che ci sia il $>0$ o il $<0$?

$ x^2-2Mx+1-M^2> 0 $ risolvendo l'equazione associata ottieni $x_(1,2)= M+-sqrt(2M^2-1)$ da cui le soluzioni della disequazione che sono
$xM+sqrt(2M^2-1)$ il secondo è l'intorno di $+oo$ che stavi cercando, mentre il primo è un intorno di $-oo$ che in questo caso non ti serve.