Esercizio di Trigonometria
Buongiorno a tutti,
ho avuto dei problemi nel comprendere questo esercizio.
Ho iniziato a pensare a utilizzare teorema dei seni o quello di carnot ma non so come applicarlo correttamente. Riuscite a darmi una mano a capirlo e possibilmente a indicarmi la strada di risoluzione?
Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB misura 2a e la diagonale AC è la bisettrice dell'angolo BAD.
1) Dimostra che AD=DC=BC
2) Determina l'angolo BAD in modo che il perimetro del trapezio sia 5a
ho avuto dei problemi nel comprendere questo esercizio.
Ho iniziato a pensare a utilizzare teorema dei seni o quello di carnot ma non so come applicarlo correttamente. Riuscite a darmi una mano a capirlo e possibilmente a indicarmi la strada di risoluzione?
Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB misura 2a e la diagonale AC è la bisettrice dell'angolo BAD.
1) Dimostra che AD=DC=BC
2) Determina l'angolo BAD in modo che il perimetro del trapezio sia 5a
Risposte
Indica con $2alpha$ l'angolo $hat(BAD)$ e ricorda le proprietà degli angoli nei trapezi isosceli, la prima domanda diventa semplice senza l'uso di grandi teoremi, che puoi riservare per la seconda parte.
Questo suggerimento me lo dava anche il libro di testo, però non sapevo come utilizzarlo. Pensavo di utilizzare il teorema dei seni al triangolo ADC però non ho la misura di nient'altro.
Ciao @LauraImberti ! E, notando che è il tuo primo messaggio, benvenuta sul forum ! E ciao anche @melia, naturalmente 
.
Dato che il suggerimento di melia non ti è stato utile, provo a spingermi io un po' oltre, chiedendo scusa a melia se intervengo ad integrare il suo messaggio. La figura è la seguente:
Sull'immagine sono già riportati i risultati ai quali arriveremo tra un momento. Noi sappiamo, certamente, che AD=BC per ipotesi, essendo il trapezio isoscele. Inoltre abbiamo che l'angolo $\alpha$, che è metà dell'angolo $D\hatAB$, è uguale all'angolo $A\hatCD$ in quanto angoli alterni interni formati dalle rette parallele AB e CD (basi del trapezio) tagliate dalla trasversale AC. Per cui il triangolo ACD risulta isoscele sulla base AC avendo gli angoli alla base congruenti, per cui avrà i lati obliqui congruenti e, dunque, AD=CD. Ricordandoci che AD=BC, segue che AD=BC=CD. Così facendo abbiamo risposto alla prima richiesta.
Per quanto riguarda la seconda, potresti anche scomodare il teorema dei coseni (di Carnot), ma io lo farei in un altro modo: innanzitutto, dovendo essere il perimetro pari a 5a, si ha che: $5a=AB+BC+CD+AD->5a=2a+3AD->AD=CD=BC=a$. A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo AHD (dove DH è l'altezza del trapezio); abbiamo che $cos(D\hatAB)=(AH)/(AD)$, ma $AD=a$ e $AH=(AB-CD)/2=a/2$, per cui si ha: $cos(D\hatAB)=(a/2)/a=1/2->D\hatAB=60°$.
Spero di essere stato chiaro e di aiuto, in caso contrario non farti problemi a chiedere.
Saluti
.Dato che il suggerimento di melia non ti è stato utile, provo a spingermi io un po' oltre, chiedendo scusa a melia se intervengo ad integrare il suo messaggio. La figura è la seguente:
Sull'immagine sono già riportati i risultati ai quali arriveremo tra un momento. Noi sappiamo, certamente, che AD=BC per ipotesi, essendo il trapezio isoscele. Inoltre abbiamo che l'angolo $\alpha$, che è metà dell'angolo $D\hatAB$, è uguale all'angolo $A\hatCD$ in quanto angoli alterni interni formati dalle rette parallele AB e CD (basi del trapezio) tagliate dalla trasversale AC. Per cui il triangolo ACD risulta isoscele sulla base AC avendo gli angoli alla base congruenti, per cui avrà i lati obliqui congruenti e, dunque, AD=CD. Ricordandoci che AD=BC, segue che AD=BC=CD. Così facendo abbiamo risposto alla prima richiesta.
Per quanto riguarda la seconda, potresti anche scomodare il teorema dei coseni (di Carnot), ma io lo farei in un altro modo: innanzitutto, dovendo essere il perimetro pari a 5a, si ha che: $5a=AB+BC+CD+AD->5a=2a+3AD->AD=CD=BC=a$. A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo AHD (dove DH è l'altezza del trapezio); abbiamo che $cos(D\hatAB)=(AH)/(AD)$, ma $AD=a$ e $AH=(AB-CD)/2=a/2$, per cui si ha: $cos(D\hatAB)=(a/2)/a=1/2->D\hatAB=60°$.
Spero di essere stato chiaro e di aiuto, in caso contrario non farti problemi a chiedere.
Saluti
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