Esercizio di statistica
Una scolaresca è così classificata in base al numero di fratelli che ciasuno studente ha:
N. Fratelli Studenti
0 11
1 32
2 23
3 10
4 5
Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.
Allora, parto sempre dalla moda che è la più facile
. E' 1.
Ho calcolato la media e mi è uscita 1,56.
La mediana la tengo per ultima perché mi è antipaticissima.
Calcolo lo scarto quadratico medio, così riesco facilmente anche a trovare la varianza.
$\sigma=sqrt((((x_1-M)^2m_1+(x_2-M)^2m_2+(x_3-M)^2m_3+(x_4-M)^2m_4+(x_5-M)^2m_5)/m)) $
$\sigma=sqrt((((-1,56)^2*11+0,56^2*32+0,44^2*23+1,44^2*10+2,44^2*5)/81)) $ Arrontando moooolto esce fuori:
$\sigma=sqrt(2,4*11+0,3*32+0,2*23+20,7+30)/9 = sqrt(26,7+9,6+4,6+50,7)/9 = sqrt(91,6)/9 = 1,07 $.
E la varianza è il quadrato dello scarto quadratico medio, quindi $\sigma^2 = 1,1 $
Potete per piacere dirmi se è giusto $\sigma$? =(
N. Fratelli Studenti
0 11
1 32
2 23
3 10
4 5
Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.
Allora, parto sempre dalla moda che è la più facile
. E' 1.Ho calcolato la media e mi è uscita 1,56.
La mediana la tengo per ultima perché mi è antipaticissima.
Calcolo lo scarto quadratico medio, così riesco facilmente anche a trovare la varianza.
$\sigma=sqrt((((x_1-M)^2m_1+(x_2-M)^2m_2+(x_3-M)^2m_3+(x_4-M)^2m_4+(x_5-M)^2m_5)/m)) $
$\sigma=sqrt((((-1,56)^2*11+0,56^2*32+0,44^2*23+1,44^2*10+2,44^2*5)/81)) $ Arrontando moooolto esce fuori:
$\sigma=sqrt(2,4*11+0,3*32+0,2*23+20,7+30)/9 = sqrt(26,7+9,6+4,6+50,7)/9 = sqrt(91,6)/9 = 1,07 $.
E la varianza è il quadrato dello scarto quadratico medio, quindi $\sigma^2 = 1,1 $
Potete per piacere dirmi se è giusto $\sigma$? =(
Risposte
Sei sicuro che sia quella la media? Non mi sembra, rivedi tuoi calcoli. Facci sapere.
Ciao.
Ciao.
a me la media aritmetica viene 1,58
perchè trovi prima lo scarto quadratico medio e poi la varianza? In pratica fai un'operazione e poi la sua inversa(prima la radice quadrata e poi il quadrato), mentre la varianza è semplicemente tutto ciò che hai sotto radice , in quanto $sqrt (sigma^2)=sigma$, quindi per trovarla bastava dividere 91,6 per 81
comunque il procedimento è giusto; io però nell'ultimo calcolo avrei tenuto la prima cifra decimale, visto che hai sempre approssimato così, e quindi avrei scritto 29,8 e non 30
perchè trovi prima lo scarto quadratico medio e poi la varianza? In pratica fai un'operazione e poi la sua inversa(prima la radice quadrata e poi il quadrato), mentre la varianza è semplicemente tutto ciò che hai sotto radice , in quanto $sqrt (sigma^2)=sigma$, quindi per trovarla bastava dividere 91,6 per 81
comunque il procedimento è giusto; io però nell'ultimo calcolo avrei tenuto la prima cifra decimale, visto che hai sempre approssimato così, e quindi avrei scritto 29,8 e non 30
"Nicole93":sottoscrivo
perchè trovi prima lo scarto quadratico medio e poi la varianza? In pratica fai un'operazione e poi la sua inversa (prima la radice quadrata e poi il quadrato), mentre la varianza è semplicemente tutto ciò che hai sotto radice
Sisi è 1,58, avevo sbagliato con la calcolatrice! 
Ora però devo trovare la mediana ma non riesco a farlo =(. La nostra professoressa ci ha insegnato un metodo, una "scorciatoia matematica" dice lei, ma secondo me mi complico solo la vita!
Allora, si calcola per ogni modalità la somma delle frequenza precedenti e della modalità stessa. Così ottengo le somme parziali delle frequenze.
$0 rArr 11;$
$1 rArr 11+32=43;$
$2 rArr 43+23=66;$
$3 rArr 66+10=76;$
$4 rArr 76+5=81 $
Ora divido per due la somma totale delle frequenze: $81/2=40,5$.
E ora la mediana dovrebbe essere la modalità cui corrisponde la prima somma parziale delle frequenze che superà la metà della somma totale delle frequenze O.o
Quindi la mediana è forse 1 perché 43 è la prima somma parziale che supera la semisomma totale?
Ora però devo trovare la mediana ma non riesco a farlo =(. La nostra professoressa ci ha insegnato un metodo, una "scorciatoia matematica" dice lei, ma secondo me mi complico solo la vita!
Allora, si calcola per ogni modalità la somma delle frequenza precedenti e della modalità stessa. Così ottengo le somme parziali delle frequenze.
$0 rArr 11;$
$1 rArr 11+32=43;$
$2 rArr 43+23=66;$
$3 rArr 66+10=76;$
$4 rArr 76+5=81 $
Ora divido per due la somma totale delle frequenze: $81/2=40,5$.
E ora la mediana dovrebbe essere la modalità cui corrisponde la prima somma parziale delle frequenze che superà la metà della somma totale delle frequenze O.o
Quindi la mediana è forse 1 perché 43 è la prima somma parziale che supera la semisomma totale?
il metodo che hai esposto, a leggerlo bene, non è poi così difficile
la mediana è il valore che sta nel mezzo, cioè, messi tutti i valori in sequenza crescente, quello che occupa la posizione centrale
ora è ovvio che quando hai 81 valori non è il caso di scriverli tutti e 81 , quindi si dividono a metà, e si vede che la mediana deve corrispondere al valore che sta tra la quarantesima e la quarantunesima posizione, o meglio, è proprio quello che sta al quarantunesimo posto, visto che prima e dopo di tale valore ce ne sono altri 40
questo valore è proprio 1
la mediana è il valore che sta nel mezzo, cioè, messi tutti i valori in sequenza crescente, quello che occupa la posizione centrale
ora è ovvio che quando hai 81 valori non è il caso di scriverli tutti e 81 , quindi si dividono a metà, e si vede che la mediana deve corrispondere al valore che sta tra la quarantesima e la quarantunesima posizione, o meglio, è proprio quello che sta al quarantunesimo posto, visto che prima e dopo di tale valore ce ne sono altri 40
questo valore è proprio 1
Ok grazie, dovrò impararmelo per bene per il futuro =).
Ora però ho un altro problemino. La prof ha scritto alla lavagna le formule per trovare la media aritmetica, geometrica, armonica e di potenza. So come calcolare perché è tutto un procedimento meccanico. Però ce le ha scritte in modo diverso dal libro, e non le ha spiegate molto bene:
Media aritmetica semplice: $ M_a=(sum_(i = 1)^Nx_i)/N $
Media geometrica semplice: $ M_g=(prod_(i = 1)^Nx_i )^(1/N) $
Media armonica: $ M_h=N/(sum_(i = 1)^N 1/x_1) $
Media di potenza: $ M^(s)=(N^(-1)sum_(i = 1)^N x_1^s)^(1/s) $
Queste cose son bellissime ma cosa significano? O.o Ha accennato alla sommatoria e alla produttoria ma non ho capito =(
Ora però ho un altro problemino. La prof ha scritto alla lavagna le formule per trovare la media aritmetica, geometrica, armonica e di potenza. So come calcolare perché è tutto un procedimento meccanico. Però ce le ha scritte in modo diverso dal libro, e non le ha spiegate molto bene:
Media aritmetica semplice: $ M_a=(sum_(i = 1)^Nx_i)/N $
Media geometrica semplice: $ M_g=(prod_(i = 1)^Nx_i )^(1/N) $
Media armonica: $ M_h=N/(sum_(i = 1)^N 1/x_1) $
Media di potenza: $ M^(s)=(N^(-1)sum_(i = 1)^N x_1^s)^(1/s) $
Queste cose son bellissime ma cosa significano? O.o Ha accennato alla sommatoria e alla produttoria ma non ho capito =(
detto in parole semplici:
- media aritmetica : fai la somma di tutti i valori e dividi per il loro numero (come hai fatto nell'esercizio precedente)
- media geometrica : devi fare la radice ennesima del prodotto di n valori (il simbolo tra parentesi è il simbolo di prodotto, e l'esponente frazionario indica che devi fare la radice del prodotto)
- media armonica : il numero dei valori fratto la somma tra i reciproci di tutti i valori
- la media di potenza non la conosco, ma da quel che vedo devi moltiplicare l'inverso del numero n di valori per la somma di tutti i valori elevati alla potenza s e poi farne la radice essesima (scusa il brutto termine)
ho controllato su Wikipedia ed ho visto che tutte queste medie sono ben descritte, quindi ti consiglio di darci un'occhiata
- media aritmetica : fai la somma di tutti i valori e dividi per il loro numero (come hai fatto nell'esercizio precedente)
- media geometrica : devi fare la radice ennesima del prodotto di n valori (il simbolo tra parentesi è il simbolo di prodotto, e l'esponente frazionario indica che devi fare la radice del prodotto)
- media armonica : il numero dei valori fratto la somma tra i reciproci di tutti i valori
- la media di potenza non la conosco, ma da quel che vedo devi moltiplicare l'inverso del numero n di valori per la somma di tutti i valori elevati alla potenza s e poi farne la radice essesima (scusa il brutto termine)
ho controllato su Wikipedia ed ho visto che tutte queste medie sono ben descritte, quindi ti consiglio di darci un'occhiata
Ah ok grazie! Ho visto anche io e ci sono anche le formule =) Devo chiedere un'altra cosa: siccome abbiamo fatto il compito in classe sulla probabilità e statistica, posso postare l'immagine del compito in modo tale da poterlo correggere?
penso che ti convenga metterla nella sezione del Forum dedicata a questi argomenti
Mmm, dove? In statistica e probabilità? Ma non è solo per matematica universitaria?
non credo, perchè comunque l'argomento è pertinente, anche se si tratta di esercizi non particolarmente difficili
Ok, penso che farò prima a postare gli esercizi singoli degli esercizi in cui ho bisogno di aiuto! =)
Nel compito c'era questo esercizio:
"Qual è la probabilità che, in una classe di 25 alunni, ve ne siano almeno due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno?"
Allora qui sono andato in confusione in una maniera assurdissimissima. Ho chiamato questo evento con E, ma poi mi sono bloccato O.O. La nostra professoressa ci ha suggerito di utilizzare il teorema della probabilità contraria e ho preso l'evento contrario di E (gil alunni della classe festeggiano il compleanno in 25 giorni diversi). E poi vuoto totale! Come devo fare?
Nel compito c'era questo esercizio:
"Qual è la probabilità che, in una classe di 25 alunni, ve ne siano almeno due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno?"
Allora qui sono andato in confusione in una maniera assurdissimissima. Ho chiamato questo evento con E, ma poi mi sono bloccato O.O. La nostra professoressa ci ha suggerito di utilizzare il teorema della probabilità contraria e ho preso l'evento contrario di E (gil alunni della classe festeggiano il compleanno in 25 giorni diversi). E poi vuoto totale! Come devo fare?
non m'intendo molto di probabilità, ma ho trovato questo stesso esercizio risolto in un mio libro, quindi ti scrivo la soluzione:
come giustamente ha detto la tua insegnante, conviene considerare l'evento contrario , che può essere considerato composto dagli eventi:
$H_1$:l'alunno 2 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 1
$H_2$:l'alunno 3 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 2
e così via fino all'evento
$H_24$:l'alunno 25 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 24
$P(H_1)=364/365$ : casi favorevoli = giorni dell'anno - giorno del compleanno dell'allievo 1; casi possibili = giorni dell'anno
$P(H_2/H_1)=363/365$ : nell'ipotesi che si sia verificato $H_1$ , i casi favorevoli = giorni dell'anno - giorni dei compleanni degli allievi 1 e 2;casi possibili = giorni dell'anno
Analogamente : $P(H_3/(H_2 nn H_1))=363/365$ ..
la probabilità contraria quindi è:
$P(\barE)=P(H_1)*P(H_2/H_1)*P(H_3/(H_2 nn H_1))*...*P(H_24/(H_23 nn H_22 nn ... nn H_1))= 364/365*363/365*..*341/365 ~~ 0,4313$
Per il teorema della probabilità contraria quindi la probabilità che nella classe ci siano due alunni che festeggiano il compleanno lo stesso giorno è :
$P(E)=1-P(\barE) ~~ 1-0,4313=0,5687$
come giustamente ha detto la tua insegnante, conviene considerare l'evento contrario , che può essere considerato composto dagli eventi:
$H_1$:l'alunno 2 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 1
$H_2$:l'alunno 3 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 2
e così via fino all'evento
$H_24$:l'alunno 25 festeggia il compleanno in un giorno diverso dall'alunno 24
$P(H_1)=364/365$ : casi favorevoli = giorni dell'anno - giorno del compleanno dell'allievo 1; casi possibili = giorni dell'anno
$P(H_2/H_1)=363/365$ : nell'ipotesi che si sia verificato $H_1$ , i casi favorevoli = giorni dell'anno - giorni dei compleanni degli allievi 1 e 2;casi possibili = giorni dell'anno
Analogamente : $P(H_3/(H_2 nn H_1))=363/365$ ..
la probabilità contraria quindi è:
$P(\barE)=P(H_1)*P(H_2/H_1)*P(H_3/(H_2 nn H_1))*...*P(H_24/(H_23 nn H_22 nn ... nn H_1))= 364/365*363/365*..*341/365 ~~ 0,4313$
Per il teorema della probabilità contraria quindi la probabilità che nella classe ci siano due alunni che festeggiano il compleanno lo stesso giorno è :
$P(E)=1-P(\barE) ~~ 1-0,4313=0,5687$
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