Esercizio di Probabilità
Tre arcieri tirano una freccia ciascuno per colpire il bersaglio. La probabilità che il primo colpisca il bersaglio è 1/3, per il secondo 1/4 e per il terzo 1/5.Qual è la probabilità che almeno una freccia colpisca il bersaglio?.
Ora io detto in maniera banale pensavo che se i tre arcieri si mettono insieme la probabilità totale del centro del bersaglio dovrebbe aumentare, e questa è pari alla somma delle tre probabilità dei tre arcieri in quanto i tre eventi sono incompatibili, se il primo centra il bersaglio l'altro non può centrarlo essendo già stata occupato il centro da un'altra freccia. La risposta è ovviamente sbagliata, e quella giusta è pari a 3/5, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perché?
Ora io detto in maniera banale pensavo che se i tre arcieri si mettono insieme la probabilità totale del centro del bersaglio dovrebbe aumentare, e questa è pari alla somma delle tre probabilità dei tre arcieri in quanto i tre eventi sono incompatibili, se il primo centra il bersaglio l'altro non può centrarlo essendo già stata occupato il centro da un'altra freccia. La risposta è ovviamente sbagliata, e quella giusta è pari a 3/5, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perché?
Risposte
Devi calcolare la probabilità contraria (ovvero che nessuno centri il bersaglio) e fare il complemento a 1.
$1-2/3*3/4*4/5=1-2/5=3/5$
$1-2/3*3/4*4/5=1-2/5=3/5$
In prima battuta anch'io la penserei come te però se ci rifletti bene questo vorrebbe dire che se ci sono cento arcieri con probabilità $1/10$ di centrare il bersaglio allora la probabilità sarebbe superiore al 100% ... mmmm ...
Allora che si fa? È meglio cercare la probabilità contraria ovvero che nessuno faccia centro e poi prendere il complemento a $1$.
Quindi $2/3*3/4*4/5=2/5$ e il complemento è $3/5$
Cordialmente, Alex.
P.S.: ci ho messo troppo
... Ciao, superpippone
Allora che si fa? È meglio cercare la probabilità contraria ovvero che nessuno faccia centro e poi prendere il complemento a $1$.
Quindi $2/3*3/4*4/5=2/5$ e il complemento è $3/5$
Cordialmente, Alex.
P.S.: ci ho messo troppo
... Ciao, superpippone
"paoloelettronico96":
Ora io detto in maniera banale pensavo che se i tre arcieri si mettono insieme la probabilità totale del centro del bersaglio dovrebbe aumentare, e questa è pari alla somma delle tre probabilità ...
Per risolvere questo tipo di esercizi e capirne il significato, considera anche tutto lo spazio campionario, ovvero la distribuzione di tutto ciò che può succedere.
indicando con 0 l'evento "L'arciere X non colpisce il bersaglio" e con 1 l'evento "L'arciere X colpisce il bersaglio" ottieni quanto segue:
| # | Arciere A | Arciere B | Arciere C | p |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 24/60 | [2] |
| 0 | 0 | 12/60 | [3] | 0 |
| 0 | 8/60 | [4] | 0 | 0 |
| 6/60 | [5] | 1 | 1 | 0 |
| [6] | 1 | 0 | 1 | 3/60 |
| 0 | 1 | 1 | 2/60 | [8] |
| 1 | 1 | 1/60 | tot |
la probabilità che almeno uno colpisca il bersaglio è appunto $1-p[0,0,0]=1-24/60=3/5$ oppure la somma di tutte le probabilità elementari....evento $[2]+[3]+...+[8]rarr p=3/5$
In pratica è equivalente a lanciare tre monete che però hanno le facce con probabilità di uscita differenti …
Ecco, la (mia) difficoltà sta qui, nel "visualizzare" lo spazio campionario e gli eventi elementari; se il problema fosse stato presentato come "qual è la probabilità che su tre monete così e così si presenti una testa?" l'avrei compreso subito, così invece ho dovuto pensare alla probabilità contraria … mah …
Thank you, Tommik
Ecco, la (mia) difficoltà sta qui, nel "visualizzare" lo spazio campionario e gli eventi elementari; se il problema fosse stato presentato come "qual è la probabilità che su tre monete così e così si presenti una testa?" l'avrei compreso subito, così invece ho dovuto pensare alla probabilità contraria … mah …
Thank you, Tommik
Grazie a tutti !
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