Esercizio di matematica (43315)

[Chanty__KIttyQUEEN]

8x alla seconda -8(5k-1)x-6+20k=0
trovare i valori di k x cui:
a)radici conincidenti
b)radici opposte
c)radici reciproche
d)radici tali che la loro somma sia 4
e)radici tali che il valore assoluto della loro somma sia 5

[BIT5]

Allora:

considera l'equazione parametrica

[math] 8x^2-8(5k-1)x-6+20k=0 [/math]

dove, relazionandoci all'equazione generica

[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

Abbiamo

[math] a=8 \ \ \ \ b=-8(5k-1) \ \ \ \ \ \ c=-6+20k [/math]

La parametrica puo' essere ridotta, dal momento che tutti i valori sono pari, possiamo riscriverla come

[math] 4x^2-4(5k-1)x-3+10k=0 [/math]

Consideriamo ora le richieste:

a) soluzioni coincidenti: sappiamo che un' equazione di secondo grado da' due soluzioni, una o nessuna.

La presenza di soluzioni e' determinata dal delta che se e' positivo, essendo sotto radice, da' origine a due soluzioni, se = 0 da' due soluzioni coincidenti e se < 0 non da' soluzioni.

Quindi per avere due soluzioni coincidenti dovremo porre il delta = 0

Siccome b e' pari (qualunque sia il valore di k, c'e' un 4 che moltiplica) possiamo usare Delta/4 (ovvero la ridotta)

[math] \frac{\Delta}{4} = \( \frac{b}{2} \)^2-ac = (2(5k-1))^2-4(-3+10k) [/math]

Dunque

[math] \frac{\Delta}{4}= 2^2(5k-1)^2-4(-3+10k)= \\ = 4(25k^2-10k+1)+12-40k= 100k^2-80k+16 [/math]

Il delta abbiamo detto dev'essere = 0

[math] 25k^2-20k+4=0 [/math]

Risolviamo l'equazione in k, anche qui utilizzando la ridotta (-20 e' pari)

[math] k_{1,2}= \frac{10 \pm \sqrt{10^2-(25)(4)}}{25} = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{25}= \frac25 [/math]

b) radici opposte.

Ricorda che: la somma delle radici (soluzioni) di un'equazione di secondo grado e':

[math] x_1+x_2= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-2b}{2a}= - \frac{b}{a} [/math]

Quindi se le radici sono opposte, significa che

[math] x_1=-x_2 \to x_1+x_2=0 \to - \frac{b}{a} = 0 [/math]

E dunque

[math] - \frac{-4(5k-1)}{8}=0 \to 20k-1=0 \to k=\frac{1}{20} [/math]

c) radici reciproche

Come sopra vediamo insieme il risultato del prodotto delle soluzioni

[math] \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} [/math]

abbiamo un prodotto notevole tra i numeratori (somma x differenza) del tipo

[math] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/math]

Quindi il risultato della moltiplicazione sara'

[math] \frac{(-b)^2- \( \sqrt{ \Delta} \) ^ 2}{4a^2} = \frac{b^2- \Delta = b^2-b^2+4ac}{4a^2} = \frac{\no{4a}c}{\no{4}a^{\no{2}}} = \frac{c}{a} [/math]

Soluzioni reciproche significa:

[math] x_1= \frac{1}{x_2} \to x_1 \cdot x_2 = 1 [/math]

Pertanto

[math] \frac{c}{a}=1 \to \frac{-3+10k}{4}=1 \to -3+10k=4 \to k= \frac{7}{10} [/math]

.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

per quanto detto sopra:

d) somma delle soluzioni = 4.

[math] x_1+x_2=4 \to - \frac{b}{a} = 4 [/math]

e)valore assoluto della somma = 5

[math] |x_1+x_2|=5 \to x_1+x_2= \pm 5 \to - \frac{b}{a} = \pm 5 [/math]

Qui risolvi le due equazioni e trovi i valori di k..

Se hai dubbi chiedi pure