Esercizio di mate, mi aiutate?

[marta136]

Spiega perchè il polinomio ( 4x^3 + 2x + 1 ) è irriducibile nell'insieme dei polinomi a coefficienti razionali

Aggiunto 1 giorno più tardi:

qualcuno me lo spiega?

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,

un polinomio p(x) si dice irriducibile quando non esistono
dei polinomi q(x) e s(x) tali che:
p(x)=q(x)•s(x)

Il nostro polinomio 4x³+2x+1 non è scomponibile, pertanto è irriducibile.

Saluti ☺️

[Zero87]

Attenzione, il polinomio in realtà è scomponibile poiché con una semplice considerazione sulla funzione associata

[math]f(x)=4x^3+2x+1[/math]

si può notare che interseca una volta l'asse $x$.
(hint: funzione continua e facendo i limiti per

[math] x \to \pm \infty [/math]

si hanno due infiniti di segno opposto)

In realtà però questa soluzione non è razionale e quindi il polinomio è scomponibile ma non lo è nell'insieme dei polinomi a coefficienti razionali. Se poi mi chiedi il procedimento non ne ho idea perché all'università non ho fatto algebra (sì, il cdl che ho scelto alla triennale era una mezza schifezza).

A dire il vero, conosco un unico criterio per stabilire se un polinomio è irriducibile nei razionali, ma l'ho studiato per conto mio e come tutte le cose in cui si è autodidatti, poi si finisce per saltare qualcosa o per non considerare qualche passaggio importante. Ricordo che si basta sul teorema di Ruffini per la scomposizione e lo spoilerizzo perché ho qualche dubbio sulla correttezza.

Il polinomio è

[math]4x^3+2x+1[/math]

, consideriamo a questo punto i divisori del termine di grado maggiore e del termine noto:
- i divisori di 4 sono

[math]\pm 1, \pm 2, \pm 4[/math]

;
- i divisori di 1 sono

[math]\pm 1[/math]

.
Costruiamo ora l'insieme delle frazioni (quindi dei numeri razionali) che hanno come numeratore l'insieme dei divisori del termine di grado maggiore e come denominatore l'insieme dei divisori del termine noto. Non è difficile perché per il termine noto, essendo

[math] \pm 1[/math]

mettendolo in un denominatore a conti fatti crea solo differenze di segno.
Quindi tale insieme è

[math] {4;-4;2;-2;1;-1}[/math]

.
A questo punto sostituiamo questi valori alla

[math]x[/math]

ed è facile verificare che nessuno di questi lo annulla... da cui si può dedurre che non esiste un polinomio a coefficienti razionali che mi permette di scomporre quello di partenza.

Spero che si capisca perché fatico a spiegarmi meglio!